Sylabus Vybraných kapitol z nelineárních PDR (výběrovka DIR036 )

ZS 2003/2004

Místo a čas konání:

Středa, 10:40, sborovna KMA

---

Metody slabé konvergence v parciálních diferenciálních rovnicích

• 1. Úvod
  • Motivace, slabá a slabá-* konvergence a přechod v nelinearitě, poznámka o klasické metodě kompaktnosti i jejích náhradách.

• 2. Slabá a silná konvergence v prostorech L^p
  • Kompaktnost omezených množin v prostorech konečné dimenze (silná kompaktnost), reflexivních (slabá kompaktnost), duálech k separabilním prostorum (slabá-* kompaktnost).
  • Slabá kompaktnost v L^p, vnořeni L¹ do měr.

• 3. L^inf-Youngovy míry
  • Omezené posloupnosti v L^inf, věta o duálu k L¹(Q,C₀(R)), věta o existenci L^inf-Youngových měr.
  • Charakterizace rozdílu mezi silnou a slabou konvergencí pomocí Youngových měr.

• 4. Div-curl lemma, Muratovo lemma
  • Div-curl lemma ve dvou dimenzích, v n dimenzích (ve struktuře L²).
  • Kompaktnost měr a Muratovo lemma.

• 5. Aplikace na skalární zákon zachování
  • Parabolická perturbace a stejnoměrný L^inf odhad; odhad gradientu v L² závislý na 1/epsilon; entropie a entropická nerovnost.
  • Representující Youngova míra; užití div-curl a Muratova lemmatu k odvozeni Murat-Tartarovy rovnice; kompenzovaná kompaktnost.
  • Důkaz dirakovskosti Youngovy míry pro skalárni rovnici v 1 dimenzi, Tartarův a Vecchiho důkaz.

• 6. Zobecněné (L^p) - Youngovy míry
  • Hlavní Ballova věta o existenci a vlastnostech zobecněných Youngových měr.

• 7. Hyperbolická rovnice druhého řádu (nelineární vlnová rovnice v Rⁿ)
  • Hyperbolická rovnice druhého řádu (dále jen HRDR), její souvislost s jistým hyperbolickým systémem.
  • Pojem "řešení v mírách" (MVS), definice MVS pro HRDR.
  • Apriorní odhady pro parabolickou regularizaci, existence a jednoznačnost řešení.
  • Existence řešení v mírách pro HRDR.

---

Požadavky ke zkoušce

Zkouška se koná v pondělí 8.3.2004 v 12:30. Sraz před pracovnou M.R.

1. Znění věty o duálu k L¹(Q,C₀(R)), věta o existenci L^inf-Youngových měr.
2. Charakterizace rozdílu mezi silnou a slabou konvergencí pomocí L^inf-Youngových měr.
3. Užití div-curl a Muratova lemmatu k odvozeni Murat-Tartarovy rovnice pro skalární zákon zachování.
4. Důkaz dirakovskosti Youngovy míry pro skalárni rovnici v 1 dimenzi na základě znalosti M.-T. rovnice
5. Hlavní Ballova věta o existenci a vlastnostech zobecněných Youngových měr.
6. Definice a existence řešení v mírách pro nelineární hyperbolickou rovnici 2. řádu, znáte-li výsledky o parabolické perturbaci a Ballovu větu.

---

Literatura

Jde o mnohem širší soupis literatury, než nutný. Vše, co bylo odpředneseno, lze nalézt v knize [5].

1. Constantine M. Dafermos: Hyperbolic systems of conservation laws, In: Systems of nonlinear PDEs, (ed. J.M.Ball), 25-70 (1983).
2. Constantine M. Dafermos: Estimates for consevation laws with little viscosity, SIAM J. Math. Anal., No.2, 409-421 (1987).
3. Lawrence C. Evans: Weak convergence methods for nonlinear partial differential equations, CBMS Regional Conference Series in Math. No. 74, 1990.
4. Peter D. Lax: Hyperbolic systems of conservation laws and the mathematical theory of shock waves, Philadelphia SIAM, 1973.
5. Josef Málek, Jindřich Nečas, Mirko Rokyta, Michael Růžička: Weak and measure-valued solutions to evolutionary PDEs, Chapman & Hall, 1996.
6. Ronald J. DiPerna: Convergence of approximate solutions to consefvation laws, Arch. Rat. Mech. Anal., 82 (1983), 27-70.
7. Ronald J. DiPerna: Convergence of the viscosity method for isentropic gas dynamics, Comm. Math. Phys., 91 (1983), 1-30.
8. Denis Serre: La compacite par compensation et systemes hyperboliques non lineaires de deux equations a une dimensiion d'space, J. Maths. Pures et Appl., 65(4), 423-468 (1986).
9. Denis Serre: Domaines invariantes pour les systemes hyperboliques de lois de conservation, J. Diff. Eq., 46-62, 69 (1987).
10. James W. Shearer: Global existence and compactness in L^p for systems of conservation laws, PhD Thesis, University of California, Berkley, 1990.
11. Luc Tartar: Compensated compactness and applications to partial differential equations, In: Nonlinear analysis and Mechanics, (ed. R.J.Knops), Heriot-Watt Symposium IV, Research Notes in Mathematics 39, Pitman, 136-192 (1979).
12. Luc Tartar: The compensated compactness method applied to systems of conservation laws, In: Systems of nonlinear PDEs, (ed. J.M.Ball), 263-285 (1983).
13. Italo Vecchi: Thesis, Univ. Heidelberg, 1989.

---