[MA pro F, 1. ročník, LS 2004/2005, M.Rokyta]

Sylabus přednášky MAF034

Místo a čas konání:

Úterý, 12:20, M1

Středa, 9:50, F1

---

Text na této stránce zachycuje skutečný stav toho, co se odpřednášelo. Přesnější požadavky k teoretické části zkoušky naleznete včas na stránce k tomu určené.

---

1. Číselné řady

• 1.1. Konvergence a divergence
  • Řada komplexních čísel. Posloupnost částečných součtů. Konvergence a divergence, event. oscilace řady. Příklady: geometrická řada a kdy konverguje, harmonická řada diverguje k plus nekonečnu, teleskopická řada, řada "suma 1/n^2" konverguje. Nutná podmínka konvergence. Uzávorkování řad (asociativní zákon), součet, rozdíl a násobek konvergenctních řad.
• 1.2. Řady s nezápornými členy
  • Nastanou jen dvě situace: posloupnost částečných součtů je omezená nebo není. První odpovídá konvergenci řady, druhá divergenci k plus nekonečnu. Srovnávací kritérium I (srovnání členů, srovnání podílů členů). Odmocninové (Cauchyovo) kritérium, limitní i nelimitní verze. Podílové (d'Alembertovo) kritérium, limitní i nelimitní verze. Raabeho kritérium. Integrální kritérium a odhady součtů řady pomocí integrálu. Srovnávací kritérium II (limita podílu členů dvou řad). Gaussovo kritérium.
• 1.3. Absolutní a neabsolutní konvergence
  • Cauchyovskost, B.-C. podmínka pro posloupnosti a pro řady. Absolutní konvergence. Absolutně konvergentní řada je konvergentní. Abelova parciální sumace. Abelovo a Dirichletovo kritérium. Leibnizovo kritérium. Posloupnost částečných součtů posloupnosti sin n a její vyjádření pomocí komplexní exp.
• 1.4. Přerovnání a násobení řad
  • Přerovnání řady. Absolutně konvergentní řadu lze přerovnat a dostaneme stejný součet (komutativní zákon). Násobení AK řad, Cauchyův součin.
• 1.5. Mocninné řady
  • Mocninná řada o středu z_0. Poloměr konvergence, kruh konvergence, kritická kružnice. Připomenutí pojmu lim sup, vyjádření poloměru konvergence s jeho pomocí. Derivovaná řada má stejný poloměr konvergence. Mocninnou řadu lze derivovat a integrovat uvnitř kruhu konvergence člen po členu. Souvislost s Taylorovou řadou. Analytické funkce. Příklady: rozvoj funkcí do Taylorových řad s různými středy a poloměry konvergence, neanalytická funkce, sčítání některých číselných řad, řešení ODR řadami ve třídě analytických funkcí.

2. Obyčejné diferenciální rovnice

• 2.1. Základní pojmy a věty
  • ODR, řád rovnice, rovnice vyřešená a nevyřešená vzhledem k nejvyšší derivaci, řešení a prodloužení řešení, maximální řešení. Rovnice řádu n a systém ODR řádu 1 - souvislost. Převod obecného systému ODR řádu n na jiný, větší systém ODR řádu 1. Počáteční podmínky. Peanova věta: pro spojitou pravou stranu má systém ODR 1. řádu pro každou počáteční podmínku alespoň jedno řešení v okolí oné počáteční podmínky. Lokální Lipschitzovskost. Věta (Picard, Lindelöf, Lipschitz) o jednoznačnosti řešení.
• 2.2. ODR 1. řádu - řešení základních typů
  • Typ y'=f(x), typ y'=g(y), obecněji y'=f(x)g(y) (rovnice v separovaných proměnných), singulární řešení, nejednoznačnost v bodech, kde je porušena lok. Lipschitzova podmínka. Lemma o nalepování řešení 1. řádu. Rovnice homogenní řádu 0. Lineární rovnice 1. řádu s nekonstantními koeficienty. Píďalka a princezna. Bernoulliova rovnice. (Bonus: Clairautova rovnice).
• 2.3. Lineární rovnice n-tého řádu, Wronskián
  • Lineární rovnice n-tého řádu se spojitými koeficienty: L[y]=b, s nenulovou pravou stranou b (nehomogenní), i s nulovou pravou stranou b=0 (homogenní). Počáteční podmínky. Věta o existenci a jednoznačnosti. Důsledky: řešení ODR je určeno jednoznačně počátečními podmínkami.
  • Prostor řešení homogenní lineární ODR řádu n je vektorový prostor dimenze n, jeho bázi nazýváme fundamentální systém (FS) rovnice L[y]=0. Prostor řešení nehomogenní lineární ODR řádu n je afinní (posunutý vektorový) prostor dimenze n, tj všechna řešení rovnice L[y]=b jsou tvaru y=y_P+c₁y₁+...+c_ny_n, kde y_P je jedno (partikulární) řešení rovnice L[y]=b a y₁,...y_n tvoří FS rovnice L[y]=0.
  • Věta o sestavení FS pro linerání homogenní ODR řádu n s konstantními koeficienty na základě kořenů charakteristického polynomu. Komplexní a reálný FS (náhrada komplexních exponenciál siny a kosiny). Základní informace o polynomech: stupeň, rozklad na kořenové činitele, souvislost vícenásobného kořene a kořenů derivací polynomu, komplexně sdružené páry kořenů reálného polunomu, hledaní racionálních kořenů polynomu s racionálními koeficienty. Důkaz věty o sestavení FS pro lineární homogenní ODR řádu n s konstantními koeficienty.
  • Nalezení partikulárního řešení metodou speciální pravé strany. Obecná variace konstant pro rovnici s nekonstatními koeficienty. Wronskián a jeho souvislost s lineární závislostí a nezávislostí funkcí. Wronskián pro funkce, které řeší ODR. Diferenciální rovnice, kterou splňuje Wronskián.
• 2.4. Speciální typy rovnic vyššího řádu
  • Snížení stupně rovnice pomocí Wronskiánu. Speciální typy nelineárních rovnic druhého řádu: co podnikat v tom kterém případě. Eulerova rovnice a její FS složený z mocnin, logaritmů a goniometrických funkcí.

3. Posloupnosti a řady funkcí

• 3.1. Bodová a stejnoměrná konvergence
  • Motivace: limitní přechody v posloupnostech funkcí, derivování a integrování řad. Příklady. Bodová konvergence, stejnoměrná konvergence na množině. Bodová a stejnoměrná limita. Konverguje-li posloupnost funkcí stejnoměrně, konverguje i bodově k téže limitě. Bodová limita je jediný kandidát na stejnoměrnou. B-C podmínka pro stejnoměrnou konvergenci. Věta "o sigma_n" (ekvivalentní podmínka stejnoměrné konvergence). Příklady stejnoměrné a nestejnoměrné konvergence. Lokálně stejnoměrná konvergence. Nutná podmínka stejnoměrné konvergence řad. Weierstrassovo kritérium. Abelovo, Dirichletovo a Leibnizovo kritérium stejnoměrné konvergence.

    
    

    První písemka "v semestru" se uskutečnila ve středu 20.4. v 8:30 v posluchárně M2.
    Její zadání i řešení naleznete zde jako ps-file, případně jako pdf.

    
    

• 3.2. Limita a spojitost
  • Věta o záměně lim a lim, věta o záměně lim a sum. Stejnoměrná konvergence posloupnosti (řady) spojitých funkcí ke spojité. Použití. Příklad na nestejnoměrnou konvergenci spojitých funkcí ke spojité.
• 3.3. Derivace a integrál
  • Motivační příklad, že nestačí stejnoměrná konvergence nezderivované řady. Věta o záměně lim a derivace, sumy a derivace. Věty o záměně neurčitého integrálu a limity, záměně neurčitého integrálu a sumy. Věta o stejnoměrně konvergující posloupnosti funkcí na omezeném intervalu a určitém integrálu z ní.
  • Doplněk k mocninným řadám: stejnoměrná konvergence mocninných řad na všech uzavřených kruzích uvnitř kruhu konvergence. Abelova věta o konvergenční kružnici a její aplikace na sčítání řad.

4. Lebesgueův integrál

• 4.1. Úvod do teorie míry
  • Potenční množina (množina všech podmnožin). Sigma algebra, abstraktní koncept míry jako množinové funkce na sigma algebře. Příklady různých měr. Vybudování Lebesgueovy míry: intervaly v Rⁿ a jejich objem, vnější míra vytvořená z objemů intervalů, její vlastnosti, měřitelné množiny, míra coby vnější míra na měřitelných množinách. Vlastnosti měřitelných množin: největší sigma algebra množin, obsahující intervaly, na které je vnější míra aditivní. Bonus mimo sylabus: Povídání o axiomu výběru, jeho příjemné a nepříjemné důsledky. otevřené množiny jsou měřitelné a důsledek: Borelovské množiny jsou měřitelné. Základní vlastnosti Lebesgueovy míry. Nulové množiny (množiny nulové míry). Spočetné množiny jsou nulové, existuje nespočetná množina nulové míry (Cantorovo diskontinuum). Co je to mít nějakou vlastnost "skoro všude".
• 4.2. Měřitelné funkce
  • Měřitelná funkce a různé možnosti jak ji definovat. Spojitá funkce je měřitelná. Věta o tom, jaké všechny operace zachovávají měřitelnost. Složení dvou měřitelných fukcí nemusí být měřitelné, je potřeba, aby vnější funkce byla spojitá.
• 4.3. Lebesgueův integrál a jeho základní vlastnosti
  • Jednoduchá funkce a Lebesgueův integrál z nezáporné jednoduché funkce. Lebesgueův integrál z libovolné nezáporné měřitelné funkce a z libovolné měřitelné funkce. Třídy L^*(M) (funkce, pro něž integrál existuje, eventuelně i nekonečný) a L(M) (funkce, pro něž integrál existuje a je konečný, tj. konverguje). Zobecnění Lebesgueova intregrálu. Integrál ve smyslu hlavní hodnoty (V.P.).
  • Základní vlastnosti Lebesgueova integrálu. Lebesgueův integrál je absolutně konvergentní. Linearita Leb. integrálu, vztah Riemannova, Newtonova a Lebesgueova integrálu. Nerovnosti v integrálu, věta o integrabilníé majorantě. Závislost integrálu na integračním oboru. Nulovost funkcí jako důasledek nulovosti integrálu.
• 4.4. Fubiniho věta a věta o substituci
  • Průměty a řezy množinou. Fubiniho věta. Dvojný a dvojnásobný integrál. Objemy těles. Integrace přes trojúhelník, objem koule.
  • Regulární zobrazení. Věta o substituci. Vztah regularity a prostoty zobrazení. Příklady, příklady. (Různé substituce, objemy...)
• 4.5. Věty Leviho, Lebesgueova, Fatouova
  • Leviho věta o monotónní konvergenci posloupnosti funkcí: verze I (všechny funkce jsou nezáporné), verze II (některé jsou trochu záporné, ale mají hlídače zespoda). Důsledek pro řady. Příklad na integrování řady. Fatouovo lemma. Lebesgueova věta (o konvergenci s majorantou, o majorizované konvergenci), verze pro řady. Příklady.
• 4.6. Integrály s parametrem
  • Integrál s parametrem. Věta o limitě integrálu s parametrem. Věta o spojitosti. Věta o derivaci. Gamma funkce a její základní vlastnosti.

  
  

  Druhá písemka "v semestru" se uskutečnila ve středu 25.5. v 8:30 v posluchárně F1.
  Její zadání i řešení naleznete zde jako ps-file, případně jako pdf.

  
  

---

Doporučená literatura

Nejbližší přednášce jsou poznámky z přednášky :-), viz [5]. Z učebních textů blízkých matfyzákovi jsou to Kopáčkova přednášková [1] a příkladová [2] skripta. Konzultujte rovněž učební text V. Součka [3], který je k mání na webu. Následující tabulka ukazuje pro vaši lepší orientaci co kde hledat.

Téma	Teorie: ve skriptech [1] (Kop.)	Teorie: ve skriptech [3] (Souček)	Příklady: ve skriptech [2] (Kop.)
Číselné řady	díl II, kap. 10	2. díl, str. 1-10, 24-29	díl II, kap. 5
Mocninné řady	díl III, kap. 12, odst. 12.4-12.6	2. díl, str. 17-24	díl II, kap. 6
ODR	díl II, kap. 7	2. díl, str. 30-55	díl II, kap. 1
Posloupnosti a řady funkcí	díl III, kap. 12, odst. 12.1-12.3	2. díl, str. 10-17	díl II, kap. 6
Lebesgueův integrál	díl III, kap. 13	3. díl, str. 13-34	díl III, kap. 1-3

• [1] Kopáček, J.: Matematika pro fyziky II. a III. (skriptum MFF UK, nové vydání = formát A5).
• [2] Kopáček, J. & kol.: Příklady z matematiky pro fyziky II. a III., (skriptum MFF UK, nové vydání = formát A5).
• [3] Souček, V.: Matematická analýza pro fyziky 2, 3, učební text na webu, který najdete tady:
  2. díl: http://www.karlin.mff.cuni.cz/~soucek/semestr2/s2.ps
  3. díl: http://www.karlin.mff.cuni.cz/~soucek/semestr3/s3.ps
• [4] Děmidovič, B.P.: Sbírka úloh z matematické analýzy. Nakladatelství Fragment, 2003.
• [5] ... vlastní (nebo kamarádovy/kamarádčiny) poznámky z přednášky.

---