[MA pro F, 2. ročník, LS 2005/2006, M.Rokyta]
Sylabus přednášky MAF043
Místo a čas konání: Čtvrtek, 9:00, T2
Text na této stránce zachycuje skutečný stav toho, co se odpřednášelo. Přesnější požadavky k teoretické části zkoušky naleznete před koncem semestru na stránce k tomu určené.Studenti matematiky, kterým bylo doporučeno, aby si tuto přednášku zapsali místo přednášky MAA021 Úvod do komplexní analýzy, budou zkoušeni pouze z kapitoly 6 níže.
5. Fourierovy řady (II)
- 5.1.-5.4. ...
- 5.5. Různé ortogonální systémy, aplikace
- Fourierovy řady v Hilbertových prostorech, úplnost ortogonálních systémů, separabilní Hilberetův prostor, ekvivalence separability a existence úplné ortonormální báze.
- Souvislost s vlastními funkcemi diferenciálních operátorů, prostory s vahami. Příklady: ortogonální systémy polynomů: Legendreovy, Laguerrovy, Hermiteovy, Čebyševovy.
6. Komplexní analýza
- 6.1. Gaussova rovina, komplexní funkce
- Gaussova komplexní rovina, v čem je podobná a v čem různá od prostoru R2. Komplexní funce a její dvě složky. Komplexní exponenciela a její vlastnosti. Víceznačné funkce (např. Argument a Logaritmus), spojité jednoznačné větve váceznačných funkcí (např. argument a logaritmus). Potíže s uvažováním pouze některých větví. Komplexní sinus a kosinus, hyperbolické funkce. Vztahy mezi nimi. Kterak počítat např. sin(i).
- 6.2. Holomorfní funkce, Cauchy-Riemannovy podmínky
- Definice komplexní derivace, věta o Cauchy-Riemannových podmínkách, její důkaz. Komplexní derivace. Pojem holomorfní funkce. Pro holomorfní funkce platí stejné "vzorečky" pro derivování jako v případě reálné proměnné. Složky holomorfní funkce (jsou-li dostatečně hladké) splňují laplace(f)=0.
- 6.3. Křivkový integrál a primitivní funkce
- Definice komplexní křivky, definice komplexního křivkového integrálu. Délka křivky. Odhad velikosti křivkového integrálu. Délka kružnice. Definice primitivní funkce. Výpočet křivkového intergrálu pomocí primitivní funkce. Vztah primitivní funkce a nezávislosti integrálu na cestě, definice primitivní funkce v tomto případě. Příklad: integrace zn přes kružnici, obíhající počátek. Ekvivalence: existuje primitivní funkce, integrál nulový přes uzavřené křivky, nezávislost na cestě. Tato ekvivalence platí pro všechny spojité funkce f na libovolné oblasti.
- 6.4. Cauchyova věta a Cauchyův vzorec
- Definice: vnitřek a vnějšek jednoduché uzavřené křivky. Jednoduše souvislá oblast. Cauchyova věta: holomorfní funkce na jednoduše souvislé oblasti má nulový integrál přes všechny uzavřené křivky uvnitř této oblasti. Důsledek: holomorfní funkce (mající cplx. derivaci) mají na jednoduše souvislých oblastech i primitivní funkci. Příklady: jak vytvořit komplexní logaritmus z funkce 1/z tím, že změním oblast její definice na jednoduše souvislou. Stejná filozofie vedoucí k definici cplx. arkustangenty. Cauchyův vzorec a jeho důsledky: holomorfní funkce má všechny derivace. Jordanovo lemma. Použití Cauchyovy věty k výpočtům: integrál ze sin(x)/x od nuly do nekonečna.
- 6.5. Taylorova a Laurentova řada
- Weierstrassova věta o stejnoměrné konvergenci holomorfních funkcí. Mocninná řada konverguje k holomorfní funkci uvnitř kruhu své konvergence. Zobecněná mocninná řada, její regulární a hlavní část. Mezikruží konvergence, zobecněná mocninná řada konverguje na svém mezikruží absolutně a lokálně stejnoměrně k holomorfní funkci. Obrácená věta: ke každé holomorfní funkci na mezikruží existuje právě jedna zobecněná mocninná řada (zvaná Laurentova řada oné funkce), která je rovna dané funkci. Vzorce pro koeficienty Laurentovy řady, souvislost Taylorovy a Laurentovy řady. Laurentova řada v nekonečnu.
- 6.6. Izolované singularity, rezidua, reziduová věta
- Singulární množina, singularita. Izolovaná singularita, nekonečno jako izolovaná singularita. Pojem rezidua v konečném bodě, rezidua v nekonečnu. Reziduová věta, Maříkova věta o indexu bodu, reziduová věta pro Riemannovu sféru. Klasifikace isolovaných singularit, věty o charakterizaci jednotlivých případů isolovaných singularit, 4 pravidla pro výpočet reziduí.
- 6.7. Použití reziduové věty k výpočtům
- Jordanovo lemma a jeho modifikace, lemma o malých kružnicích, výpočty některých typových integrálů: integrál z racionální funkce přes R, integrál z racionální funkce krát komplexní exponenciela přes R, integrál z racionální funkce (případně vynásobené logaritmem) přes kladnou část reálné osy, integrál z racionální funkce v sinech a kosinech přes interval délky dvě pí. Integrály ve smyslu hlavní hodnoty.
- 6.8. Liouvilleova věta a věta o jednoznačnosti
- Liouvilleova věta a její důsledek: základní věta algebry. Věta o jednoznačnosti pro holomorfní funkce.
7. Fourierova transformace
- 7.1. Fourierova transformace
- Definice Fourierovy transformace pro funkce z L1(Rn). Různé Fourierovy transformace (různé volby škálovacích konstant). Základní vlastnosti F.T. Transformace fce sudé, liché, symetrické. Škálování a posun v transformaci. Transformace radiálně symetrické fce v R3. Symetrie v dualitě mezi f a F(g), resp. g a F(f). Konvoluce, F.T. konvoluce.
- 7.2. Věta o inverzi pro Fourierovu transformaci
- Multiindexy, Schwarzův prostor S (prostor rychle klesajících funkcí). Vlastnosti prostoru S. Fourierova transformace Gaussovy exponenciely s různým škálováním. Věta o inverzi pro fce z S. Rozšíření F.T. do prostoru L2. Poznámky: vlastnosti Fourierových obrazů fcí z S, L1 a L2.