[MAF043: MA pro F, 2. ročník, LS 2005/2006, M.Rokyta]

Požadavky k teoretické části zkoušky

Není-li řečeno jinak, chci i důkazy. Studenti matematiky, kterým bylo doporučeno, aby si tuto přednášku zapsali místo přednášky MAA021 Úvod do komplexní analýzy, budou zkoušeni pouze z otázek kapitoly Komplexní analýza.

---

Fourierovy řady (II)

• Prostory s vahou, úplné OG systémy v obecných Hilbertových prostorech (pouze definice).
• Separabilní Hilbertův prostor, ekvivalence separability a existence úplné ortonormální báze.
• Věty o tom, že řešení okrajových úloh pro obyčejnou dif. rovnici generují úplné OG systémy (bez důkazu).

Komplexní analýza

• Víceznačná funkce a její spojitá jednoznačná větev (definice). Jednoznačné větve logaritmu a argumentu (definice, vlastnosti).
• Holomorfní funkce v bodě a na okolí (definice), věta o Cauchy-Riemannových podmínkách.
• (Hladké) složky holomorní funkce jsou harmonické (tj. splňují Laplaceovu rovnici).
• Definice křivkového integrálu, definice primitivní funkce, věta o ekvivalencích výroku "míti primitivní funkci".
• Souvislá množina, oblast, jednoduše souvislá oblast, vnitřek a vnějšek jednoduché uzavřené křivky (definice).
• Cauchyova věta, Cauchyův vzorec.
• Weierstrassova věta o holomorfnosti řad funkcí.
• Zobecněná mocninná řada, Lauretnova řada (definice). Věta o mezikruží (o malém a velkém poloměru) pro zobecněnou mocninnou řadu.
• Věta: k holomorní funkci v mezikruží existuje právě jedna zobecněná (Laurentova) řada. (bez důkazu, pouze s odvozením tvaru koeficientů)
• Klasifikace isolovaných singularit, definice residua. Laurentova řada a residuum v nekonečnu (definice).
• Ekvivalentní charakterizace odstranitelných singularit.
• Každý pól má násobnost, ekvivalentní charakterizace pólu.
• Podstatná singularita a její charakterizace pomocí Laurentovy řady.
• Jordanovo lemma (s exponencielou), modifikované Jordanovo lemma (bez exponenciely), lemma o malých obloucích.
• Pravidla pro výpočet residuí, residuová věta.
• Riemannova věta pro sféru (součet všech residuí včetně toho v nekonečnu je nula).
• Liouvilleova věta, základní věta algebry.
• Věta o jednoznačnosti s důsledky pro jednoznačnost rozšíření elementárních funkcí z reálné osy.

Fourierova transformace: co bylo bez důkazů, tak bez důkazů - v rozsahu přednášky

• Definice Fourierovy transformace (F.T.) přímé a opačné pro funkce z L¹, základní vlastnosti F.T.
• Konvoluce, vztah F.T. a konvoluce.
• Definice a vlastnosti prostoru S, věta o inverzi pro funkce z S.
• Pouze znění a definice: Rozšíření F.T. na prostor L², vlastnosti Fourierových obrazů fcí z S, L¹ a L².

---

Co nebudu chtít v teoretické části zkoušky

Nebudu chtít definice a explicitní tvary soustav ortogonálních polynomů. Pokud se objeví v písemce, budete moci použít "oficiální tahák" http://www.karlin.mff.cuni.cz/~rokyta/vyuka/general/tahaky/orthopoly.pdf. Poslední otázku (psána italikou) z F.T. budu chtít jen jako doplňkovou, když budu váhat mezi známkou 1 a 2, nebude v tištěném zadání zkouškových otázek. Na poslední chvíli jsem rovněž odstranil z požadavků body "Vztah F.T. k derivování", "Fourierova transformace součinu", "Věty o inverzi pro funkce z L¹ a L²", neboť nebyly odpředneseny.

---

Doporučená literatura

Uvedený seznam literatury je dosti široký. Neznamená to, že pro úspěšné složení zkoušky to musíte všecko přečíst. Úplně bude stačit Kopáček. Jde spíš o to, že se mě tu a tam někdo ptal, jestli je nějaká rozumná literatura, ve které by se dočetl i "něco navíc".

Standardní zkoušková literatura

1. Vlastní poznámky z přednášek.

2. Kopáček, J.: Matematika pro fyziky IV. (Skriptum MFF UK)

3. Kopáček, J.: Matematika pro fyziky V. (Skriptum MFF UK)

4. Souček, V., J.: Matematika pro fyziky, 4 semestr (učební text na webu: http://www.karlin.mff.cuni.cz/~soucek/semestr4/s4.ps)

   Literatura k písemné části zkoušky

5. Jiří Kopáček (& kol.): Příklady z matematiky pro fyziky III. Skriptum MFF UK, SPN, 1988
   (Obsahuje: Plošný integrál)

6. Jiří Kopáček (& kol.): Příklady z matematiky pro fyziky IV. Skriptum MFF UK, SPN, 1988
   (Obsahuje: Fourierovy řady, komplexní analýzu, , Fourierovu transformaci)

   Další možná (doplňková) studijní literatura

7. J. Veselý: Komplexní analýza pro učitele. Skriptum, Karolinum, 2001.
   ("Pro učitele" znamená ne, že to není pro vás, ale že to je podáváno pedagogicky, s historickými poznámkami, atd. což se naopak může hodit, ne? Obsah najdete na http://www.karlin.mff.cuni.cz/~jvesely/komplexan.htm).

8. I.Černý: Analýza v komplexním oboru. Academia, Praha, 1983.
   (Dosti teoretické).

9. W.Rudin: Analýza v reálném a komplexním oboru. Academia Praha, 1977, ... 3. vydání 2003.
   (Komplexka až do pokročilejšího stadia, včetně Fourierovy transformace a prostorů L^p ).

10. S.Saks, A.Zygmund: Analytic functions. Warszava, Wroclav, 1952. (anglicky).
    (Špičková kniha o komplexní analýze - jedna z těch, které nestárnou).
11. V.J.Arsenin: Matematická fyzika - Základné rovnice a špeciálne funkcie, Alfa, Bratislava, 1977.
    (Překlad z ruštiny, m.j. tu najdete povídání a speciálních funkcích, potřebných pro fyziky - Gamma a Beta funkce, Besselovy funkce, Hankelova fukce, Airyova funkce, polynomy: Legendrovy, Hermitovy, Laguerrovy. Zbytek knihy je o parciálních diferenciálních rovnicích, což je věc, kterou budeme probírat v 3.ročníku.)

---