Hyperbolické systémy a zákony zachování
(DIR058)

LS 2005/2006

Místo a čas konání:

Úterý, 11:30, sborovna KMA

---

Sylabus

• Hyperbolický systém PDR 1. řádu: definice. Souvislost se zákony zachování. Reálná vlastní čísla matice, která je lineární kombinací Jacobiho matic nelinearit. Co by se stalo, kdybychom připustili komplexní vlastní čísla: nestabilita řešení.
• Příklady hyperbolických systémů: p-systém, souvislost s nelineární vlnovou rovnicí.
• Eulerovy (nevazké) rovnice. Hyperbolicita skalárních rovnic 2. řádu a odpovídajícího systému hyperbolických rovnic 1. řádu: souvislost s elipticitou operátoru prostorových derivací.
• Klasické a slabé řešení hyperbolické rovnice 1. řádu. Metoda charakteristik a kolaps klasického řešení v libovolně krátkém čase pro nelineární hyperbolickou rovnici. Slabé řešení a Rankine-Hugoniotovy podmínky pro určení slabého řešení sestaveného z po částech konstantních funkcí.
• Nejednoznačnost slabého řešení: nespočetně mnoho řešení, vyhovujících R-H podmínce. Matematické zavedení entropické rovnosti jako dodatečného zákona zachování, splněného automaticky pro hladká řešení původního hyperbolického systému. Podmínky kompatibility mezi entropií, toky entropie a nelinearitami hyperbolického systému.
• Podmínky kompatibility jsou většinou přeurčený systém PDR pro hledané entropie a toky. Existence entropie zaručena pouze pro 1 rovnici v libovolné dimenzi nebo pro dvě rovnice v 1 prostorové dimenzi. Dále jen pro symetrické či symetrizovatelné systémy: Věta: systém má konvexní entropii právě tehdy, když je symetrizovatelný.
• Parabolická perturbace hyperbolického zákona zachování a metoda mizející vazkosti. Kterak se entropická rovnost stala entropickou nerovností. Fyzikální a nefyzikální. Entropická nerovnost je to, co nám zbylo, když nás opustila vazkost.
• Opakování z teorie funkčních prostorů: Lebesgueovy a Sobolevovy prostory, normy v nich. Youngova a Hölderova nerovnost, Gronwallovo lemma. Záporné Sobolevovy prostory, duality. Bochnerovy prostory, integrace per partes v nich.
• Parabolická perturbace hyperbolického zákona zachování: 1 rovnice v d dimenzích. Základní věta o existenci a jednoznačnosti slabého řešení. Důkaz pro hladkou nelinearitu splňující globální Lipschitzovu podmínku, využití lineární teorie, nalezení kontraktivního zobrazení v úplném prostoru.
• Důkaz pro obecnou hladkou nelinearitu za dodatečného předpokladu omezenosti počáteční podmínky.
• Odhad normy gradientu řešení parabolické (perturbované) úlohy - jeho chování je závislé na epsilon.
• Odbočení do funkcionální analýzy: slabé a silné konvergence, rozdíl mezi nimi v Lebesgueových prostorech, Definice prostorů C_K(Omega), C₀(Omega), M(Omega) (Radonovy míry), vnoření L¹(Omega) do M(Omega). Konvergence norem a slabá konvergence implikují silnou. Slabá konvergence v Lebesgueových prostorech je konvergence lokálních průměrů. Zádrhele slabé konvergence v nelinearitách a metody, jak na to: metoda kompaktnosti, založená na nějakém kompaktním vnoření, a metody kompanzované (ne)kompaktnosti.
• Definice prostorů L¹(Q,C₀(R^s)), L^inf_w(Q,M(R^s)). Věta o duálu k L¹(Q,C₀(R)), věta o existenci L^inf-Youngových měr s důkazem, komentář. Charakterizace rozdílu mezi silnou a slabou konvergencí pomocí Youngových měr.
• Dirakovskost Y.m. a 3 další ekvivalentní tvrzení, tj, charakterizace rozdílu mezi silnou a slabou konvergencí pomocí Youngových měr. Obecná strategie důkazu existence řešení pro hyperbolickou rovnici. Div-curl lemma. Muratovo lemma. Murat-Tartarova identita.
• Vecciho věta o redukci nosiče míry, která splňuje M.-T. identitu. Závěrečná věta o existenci entropického řešení pro skalární nelineární hyperbolický zákon zachování v jedné dimenzi.

---

Požadavky ke zkoušce

1. Definice hyperbolického systému, pojem a definice entropie a entropických toků (podmínkami kompatibility), definice slabého entropického řešení, parabolická perturbace a odvození entropické nerovnosti "metodou mizející vazkosti".
2. Parabolická perturbace pro 1 rovnici a věta o existenci a jednoznačnosti řešení. Hlavní kroky důkazu pro globálně Lipschitzovskou nelinearitu, náznak, jak to odstranit. Odhady velikosti řešení a velikosti gradientu řešení - bez důkazu.
3. Definice Youngovy míry a důkaz existence Youngovy míry pro stejnoměrně L^inf omezenou posloupnost funkcí, a na základě znalosti jisté duality bez důkazu.
4. Charakterizace rozdílu mezi silnou a slabou konvergencí pomocí L^inf-Youngových měr (4 ekvivalentní podmínky)
5. Užití div-curl a Muratova lemmatu k odvozeni Murat-Tartarovy rovnice pro skalární zákon zachování.
6. Důkaz dirakovskosti Youngovy míry pro skalárni rovnici v 1 dimenzi na základě znalosti M.-T. rovnice

---

Literatura

Jde o mnohem širší soupis literatury, než nutný. Přesto se mi povedlo se zakecat do té míry, že některé věci v literatuře zde uvedené nenaleznete. Základní literaturou nicméně je kniha [5], kde toho najdete nejvíc.

1. Constantine M. Dafermos: Hyperbolic systems of conservation laws, In: Systems of nonlinear PDEs, (ed. J.M.Ball), 25-70 (1983).
2. Constantine M. Dafermos: Estimates for consevation laws with little viscosity, SIAM J. Math. Anal., No.2, 409-421 (1987).
3. Lawrence C. Evans: Weak convergence methods for nonlinear partial differential equations, CBMS Regional Conference Series in Math. No. 74, 1990.
4. Peter D. Lax: Hyperbolic systems of conservation laws and the mathematical theory of shock waves, Philadelphia SIAM, 1973.
5. Josef Málek, Jindřich Nečas, Mirko Rokyta, Michael Růžička: Weak and measure-valued solutions to evolutionary PDEs, Chapman & Hall, 1996.
6. Ronald J. DiPerna: Convergence of approximate solutions to consefvation laws, Arch. Rat. Mech. Anal., 82 (1983), 27-70.
7. Ronald J. DiPerna: Convergence of the viscosity method for isentropic gas dynamics, Comm. Math. Phys., 91 (1983), 1-30.
8. Denis Serre: La compacite par compensation et systemes hyperboliques non lineaires de deux equations a une dimensiion d'space, J. Maths. Pures et Appl., 65(4), 423-468 (1986).
9. Denis Serre: Domaines invariantes pour les systemes hyperboliques de lois de conservation, J. Diff. Eq., 46-62, 69 (1987).
10. James W. Shearer: Global existence and compactness in L^p for systems of conservation laws, PhD Thesis, University of California, Berkley, 1990.
11. Luc Tartar: Compensated compactness and applications to partial differential equations, In: Nonlinear analysis and Mechanics, (ed. R.J.Knops), Heriot-Watt Symposium IV, Research Notes in Mathematics 39, Pitman, 136-192 (1979).
12. Luc Tartar: The compensated compactness method applied to systems of conservation laws, In: Systems of nonlinear PDEs, (ed. J.M.Ball), 263-285 (1983).
13. Italo Vecchi: Thesis, Univ. Heidelberg, 1989.

---