[MAF042: MA pro F, 2. ročník, LS 2005/2006, M.Rokyta]
Požadavky k teoretické části zkoušky
Není-li řečeno jinak, chci i důkazy. Podrobnější informace o důkazové filozofii najdete přímo v textu požadavků.
Křivkový integrál
- Křivka; jednoduchá křivka, uzavřená křivka; opačná křivka, součet křivek, tečný a normálový vektor ke křivce; vektor binormály.
- Definice křivkových integrálů obou druhů, vztahy mezi nimi, věta o nezávislosti na parametrizaci.
- Věta o výpočtu integrálu pomocí potenciálu.
- Ekvivalence nezávislosti integrálu na cestě, věta o existenci potenciálu.
Plošný integrál
- Zadání plochy, parametrizace, jednoduchá a zobecněná k-plocha, normálový vektor. Orientace plochy, popisem a parametrizací.
- Definice plošných integrálů obou druhů pro 2-plochu v R3, vztahy mezi nimi. Grammův determinant.
- Gauss-Ostrogradského věta (důkaz v R3) - viz též poznámku u Stokesovy věty v odstavci o diferenciálních formách.
- Důsledky G-O věty: věta o divergenci, per partes, Greenovy formule. (Bez důkazů, ale znění znát. Připravte se na to, že budete mít třeba doplnit pravou stranu nějaké z rovností. Přestože u písemky budete moci mít k dispozici příslušný tahák (pro osvěžení paměti), u teoretické části zkoušky už nebudete moci mít žádný tahák...)
- Greenova věta v R2 bez důkazu. Stokesova věta bez důkazu. (Ale znění pořádně! :-))
- Odvození vztahů pro normálu a vztahů pro výpočet integrálů obou druhů, je-li plocha zadaná explicitně.
- Definice vektorového součinu n-1 vektorů v dimenzi n, geometrická interpretace, definice integrálů obou druhů pro (n-1)-plochu v Rn.
Integrace diferenciálních forem
- Definice algebry nad vektorovým prostorem. Definice vnější algebry Rn a vlastnosti násobení na ní. Definice diferenciální formy na Rn a prostorů Ek, E*.
- Definice: přenášení diferenciálních forem, vnější diferenciál (diferenciál diferenciální formy).
- Věta o diferencování diferenciálních forem (s důkazem). Věta o vlastnostech přenesených forem (bez důkazu).
- Definice integrálu diferenciální formy. Pojem difeomorfismu.
- Definice regulární otevřené plochy, definice otevřeného intervalu a otevřených stěn intervalu, příslušných "zvednutí" z průmětu na stěny intervalu, definice orientované hranice regulární otevřené plochy pomocí těchto pojmů. (To jsou ty definice před obecnou Stokesovou větou.)
- Stokesova věta pro diferenciální formy (bez důkazu, takto: všichni by měli umět Krok 2 důkazu, tj. práci s přenesením celé situace na interval I. Ti, kteří chtějí mít známku 1, nechť se naučí i Krok 1, pak ovšem nemusejí umět důkaz Gauss-Ostrogradského věty v R3).
- Ze znění Stokesovy věty pro diferenciální formy odvoďte větu o potenciálu pro křivky, Greenovu větu, Gauss-Ostrogradského větu, klasickou Stokesovu větu.
Úvod do variačního počtu
- Pojem funkcionálu; Gateauxův diferenciál; kritický bod funkcionálu, extremála.
- Definice Gateauxova diferenciálu.
- Eulerova věta o kritickém bodu.
- Euler-Lagrangeova věta o E-L rovnici (bez důkazu lemmat, která jsou k tomu potřeba, na známku 1 i s důkazy těchto lemmat).
- Speciální typy E-L rovnice (zejména Beltramiho identita).
- Postačující podmínky existence lokálního extrému: Jacobiho metoda. (Tj.metoda pomocné funkce omega, jejíž nulové body se vyšetřují). Bez důkazu pouze vysvětlete, co a jak se dělá a jak zní příslušná věta.
Fourierovy řady
- Pojmy a definice: Trigonometrická řada, Fourierova řada vzhledem k systému funkcí, funkce po částech C1, Dirichletovo integrační jádro, Besselova nerovnost, Parsevalova rovnost, Hilbertův prostor, ortogonální systém, abstraktní Fourierova řada podle OG systému prvků, úplný OG systém.
- Definice F. řady v sinech a kosinech.
- Riemann-Lebesgueovo lemma.
- Riemannova věta o lokalizaci.
- Věta o bodové konvergenci Fourierovy řady pro po částech C1 funkce.
- Derivování a integrování Fourierových řad (věty i s důkazy).
- Vědět vlastnosti Fourierových řad a koeficientů pro funkce z různých typů prostorů (viz "Shrnutí").
- Definice Hilbertova prostoru, definice abstraktní Fourierovy řady, věta o tvaru koeficientů.
- Abstraktní Besselova nerovnost a Parsevalova rovnost, souvislost s úplností OG systému.
Doporučená literatura
Nejbližší přednášce jsou poznámky z přednášky, viz [4]. Z učebních textů blízkých matfyzákovi jsou to Kopáčkova přednášková [1] a příkladová [2] skripta. Konzultujte rovněž učební text V. Součka [3], který je k mání na webu. Následující tabulka ukazuje pro vaši lepší orientaci co kde hledat.
| Téma | Teorie: ve skriptech [1] (Kop.) | Teorie: ve skriptech [3] (Souček) | Příklady: ve skriptech [2] (Kop.) |
|---|---|---|---|
| Křivkový integrál | díl III, kap. 14 | 3. díl, od str. 35 | díl III, kap. 4 |
| Plošný integrál | díl III, kap. 15 | 3. díl, od str. 35 | díl III, kap. 4 |
| Diferenciální formy | - | 3. díl, od str. 35, Stokesova věta zde. | - |
| Variační počet | díl II, kap. 11 | 3. díl, str. 1-12 | díl II, kap. 4 |
| Fourierovy řady | díl IV, kap. 16 | 4. díl, od začátku | díl IV, kap. 1 |
- [1] Kopáček, J.: Matematika pro fyziky II., III., IV. (skriptum MFF UK, nové vydání = formát A5).
- [2] Kopáček, J. & kol.: Příklady z matematiky pro fyziky II., III., IV. (skriptum MFF UK, nové vydání = formát A5).
- [3] Souček, V.: Matematická analýza pro fyziky 3, 4. Učební text na webu, který najdete tady:
3. díl: http://www.karlin.mff.cuni.cz/~soucek/semestr3/s3.ps
4. díl: http://www.karlin.mff.cuni.cz/~soucek/semestr4/s4.ps
- [4] ... vlastní (nebo kamarádovy/kamarádčiny) poznámky z přednášky.
