Sylabus |
1. Operátorová trivia
Banachův a Hilbertův prostor. Operátory a funkcionály, operátorová norma. Převedení ODR na operátorovou rovnici a její řešení. Von Neumannova řada operátoru.
2. Základy spektrální analýzy
Vlastní čísla operátoru, spektrum, resolventní množina, bodové, spojité a reziduální spektrum. Vlastnosti spektra, spektrální poloměr. Různé možnosti stavů operátoru.
3. Kompaktní operátory
Kompaktní operátory a jejich spektrum. Stavy kompaktního operátoru.
4. Duálnost a adjungovanost
Duální operátory, duální prostory, dualita, reprezentace spojitých lineárních funkcionálů. Rieszova věta. Adjungovaný operátor, samoadjungovaný operátor, jejich spektrum. Báze složená z vlastních vektorů.
5. Neomezené operátory
Neomezené operátory. Adjungovaný operátor. Definiční obor neomezeného operátoru a adjungovaného operátoru. Symetrický a samoadjungovaný operátor. Uzavřený operátor, prostota, spektrum.
6. Diferenciální operátory, speciální polynomy a funkce
Diferenciální operátory, samoadjungovaný tvar. ON báze složené z polynomů. Rovnice: Gaussova redukovaná, Čebyševova, Hermitova, speciální funkce: polynomy Legendreovy, Laguerrovy, Hermitovy, hypergeometrické řady.
|
Literatura |
- J. Lukeš: Zápisky z funkcionální analýzy, skriptum MFF UK, Karolinum, 1998
- P. Čihák, M.Rokyta a kol.: Matematická analýza pro fyziky (V), skriptum MFF UK, Matfyzpress, 2003
- K. Najzar: Funkcionální analýza, skriptum MFF UK, SPN, 1981
- E. Kreyszig: Introductory functional analysis with applications, John Willey & Sons, 1978
|