Pozadavky ke zkousce z F064, letni semestr 1995/96, Rokyta

Pozadavky ke zkousce z Matematicke analyzy pro fyziky, 2. rocnik (F064)

Letni semestr 1995/96

Zde muzete obdrzet tyto pozadavky ve forme ps souboru

Pisemna cast zkousky
Pisemna cast zkousky bude tentokrat trvat dve a pul hodiny , ve kterych bude nutno vyresit tentokrat ctyri priklady. Naprotitomu se vracim k filozofii: "Zkouska zacina odevzdanim pisemky", tj. az po uplynuti onech 2.5 hodiny budete se moci rozhodnout, zda se vam pisemka povedla nebo ne. Ty ctyri priklady budou:

Plosny integral: typicke zadani: "spoctete plosny integral..."; ocekavejte plochy dimenze 2 v R³, zejmena priklady, ktere souviseji s pouzitim Gauss-Ostrogradskeho a Stokesovy vety.
Fourierovy rady aneb "rozvinte do Fourierovy rady..."; pouze rady v sinech a cosinech, ale muze byt jina perioda nez 2*Pi; muze byt, ze bude potreba rozvinout do rady funkci i jeji derivaci, resp. primitivni funkci (tj\. kdy lze derivovat, integrovat po clenech?). Nezapomente na Parsevalovu rovnost.
Komplexni analyza: ("spoctete integral..."); vypocty integralu pomoci residuove vety, a to bud krivkovy v C nebo jeden z probiranych typu (pro sklerotiky jsem ochoten napovedet krivku, pres kterou maji integrovat).
Fourierova nebo Laplaceova transformace: spocist F. (nebo L. - jedno z toho) transformaci (tam nebo inverzne) zadane funkce. Muzou se vyskytnout konvoluce.

Literatura k pisemne casti zkousky

Jiri Kopacek (& kol.) Priklady z matematiky pro fyziky III. skriptum MFF UK, SPN, 1988 (obsahuje: Plosny integral)
Jiri Kopacek (& kol.) Priklady z matematiky pro fyziky IV. skriptum MFF UK, SPN, 1988 (obsahuje: Fourierovy rady, obe transformace, komplexni analyzu)
Miroslav Brzezina, Ivan Netuka Vybrane kapitoly z matematicke analyzy: Priklady z analyzy v komplexnim oboru. Brozurka MFF UK, 1988 (Obsahuje: Komplexni analyzu)
L.I.Volkovyskij, G.D.Lunc, I.G.Aramovic Sbornik zadac po teorii funkcij komplexnogo peremennogo (rusky) Nauka, Moskva, 1970 (Obsahuje: Komplexni analyzu v dosti sirokem zaberu)
Karel Rektorys a kol. Prehled uzite matematiky I, II. Prometheus, Praha, 1995 (To neni sbirka prikladu, ale souhrn matematiky ve smyslu "aplikace pro praxi"; najdete zde i resene priklady)
Doporucuji zejmena Kopacky III a IV, kde je dostatek prikladu. Dobra sbirka prikladu (s navody) na komplexku je B&N. Tezsi priklady (nebudou ve zkouskove pisemce) na pouziti residuove vety obsahuje dodatek ke sbirce Kop IV.
Pocitejte si, nechavejte si ode mne kopirovat priklady atd.

Pozadavky k ustni zkousce
Pozadavky jsou rozdeleny do nekolika zakladnich okruhu. V kazdem okruhu nejprve specifikuji pojmy, ktere s danou problematikou souviseji a ktere byste meli znat. Nasleduje vycet faktu z daneho okruhu, ktere povazuji za dulezite. "Bez dukazu" znamena bez dukazu, jinak vzdy s dukazem.

Plosny integral

Pojmy: Jednoducha a zobecnena k-plocha; parametrizace; orientace plochy; spojite pole normal; integral prvniho a druheho druhu; Grammuv determinant.
Fakta: Definice integralu prvniho a druheho druhu, nezavislost na parametrizaci, souvislost obou integralu Veta o Grammove determinantu (2-plocha v R³). Odvozeni vztahu pro normalu a vztahu pro vypocet integralu obou druhu, je-li plocha zadana explicitne, implicitne Gauss-Ostragradskeho veta (naznak dukazu v R³) Dusledky G-O vety: veta o divergenci, per partes, Greenovy formule Greenova veta Stokesova veta Definice vektoroveho soucinu n-1 vektoru v dimenzi n, geometricka interpretace, definice integralu obou druhu v teto situaci Gauss-Ostrogradskij v n dimenzich (bez dukazu) Lemma o objemu k-dimenzionalniho rovnobeznostenu v n dimenzich, definice integralu 1. druhu v teto situaci.

Fourierovy rady

Pojmy: Trigonometricka rada, Fourierova rada vzhledem k systemu funkci, funkce po castech C¹, Dirichletovo integracni jadro, Besselova nerovnost, Parsevalova rovnost, Hilbertuv prostor, ortogonalni system, abstraktni Fourierova rada podle OG systemu prvku, uplny OG system, prostory L^p.
Fakta pro rady v sinech a cosinech: Riemann-Lebesgueovo lemma Riemannova veta o lokalizaci Veta o konvergenci Fourierovy rady pro po castech C¹ funkce Besselova nerovnost a Parsevalova rovnost Derivovani a integrovani Fourierovych rad (znalost vsech odprednesenychh faktu a dukaz 1 vety souvisejici s derivovanim a 1 vety souvisejici s integrovanim).
Fakta pro abstraktni rady: Definice Hilbertova prostoru, prostoru L^p, Holderova nerovnost (bez dukazu), definice abstraktni Fourierovy rady Besselova nerovnost, Parsevalova rovnost, souvislost s uplnosti OG systemu Veta o tom, ze reseni okrajove ulohy pro obycejnou dif. rovnici generuji OG system (bez dukazu).

Komplexni analyza

Pojmy: Gaussova rovina, stereograficka projekce, argument/Argument, viceznacna funkce a jeji spojita jednoznacna vetev, holomorfni funkce, Cauchy-Riemannovy podminky, harmonicka funkce a funkce harmonicky sdruzena, jednoduse souvisla oblast, zobecneny Lebesgueuv integral, zobecnena mocninna a Laurentova rada, isolovana singularita, residuum.
Fakta: Holomorfni funkce v bode a na oblasti, veta o Cauchy-Riemannovych podminkach (Hladke) slozky holomorni funkce jsou harmonicke; veta o harmonicky sdruzene funkci k zadane harmonicke funkci Definice krivkoveho integralu, definice primitivni funkce, veta o ekvivalencich vyroku ``miti primitivni funkci''` Cauchyova veta Jordanovo lemma Cauchyuv vzorec Morerova veta Weierstrassova veta o holomorfnosti rad funkci Veta o mezikruzi (o malem a velkem polomeru) pro zobecnenou mocninnou radu - s naznakem, z ceho znameho to plyne Veta: k holomorni funkci v mezikruzi existuje prave jedna zobecnena rada Klasifikace isolovanych singularit, definice residua Ekvivalentni charakterizace odstranitelnych singularit Kazdy pol ma nasobnost, ekvivalentni charakterizace polu Podstatna singularita a jeji charakterizace, Casorati-Weierstrassova veta Pravidla pro vypocet residui Residuova veta Laurentova rada a residuum v nekonecnu, Riemannova veta pro sferu (soucet vsech residui vcetne v nekonecnu je nula) Liouvilleova veta Zakladni veta algebry Veta o jednoznacnosti s dusledky pro jednoznacnost rozsireni elementarnich funkci z realne osy.

Fourierova a Laplaceova transformace

Pojmy: Fourierova transformace prima a opacna, multiindex, prostory L^p, prostor S, konvoluce, hustota prostoru v jinem prostoru, Parsevalova rovnost, Laplaceova transformace, prostory L¹_loc a L¹₊.
Fakta: Definice Fourierovy transformace (F.T.) prime a opacne pro funkce z L¹, ukazat, ze je to funkce spojita s nulovymi limitami v nekonecnech (Reimann-Lebesgueovo lemma) Vztah F.T. a derivovani (s dukazem pro 1 dimenzi a prvni derivaci) Konvoluce, pro jake funkce existuje (bez dukazu), F.T. konvoluce je soucin F.T. Definice a vlastnosti prostoru S (bez dukazu) Veta o inverzi pro funkce z S Fourierova transformace soucinu Veta o inverzi pro funkce z L¹ Parsevalova rovnost a rozsireni F.T. na prostor L², inverzni formule v L² (uvahy o hustote). Definice Laplaceovy transformace (L.T.), jeji zakladni vlastnosti (definicni obor, holomorfnost, omezenost, limity, derivovani), souvislost s F.T. Pocetni pravidla s L.T. (substituce, posunuti, derivovani, integrovani, konvoluce - bez dukazu ci s naznaky) Vety o inverzi pro L.T. (v rozsahu prednasky).

Literatura k ustni casti zkousky
Nejblize prednasce jsou skripta Kopacek a kolektiv, a to nasledujicim zpusobem:

v [2]najdete: Plosny integral, Fourierovy rady a Fourierovu transformaci (ovsem tu podrobneji, nez jsem ji prednasel; pri prednasce jsem se snazil drzet spise verze Fourierovy transformace v [3] - doporucuji.)
v [3] najdete: Komplexni analyzu, Fourierovu a Laplaceovu transformaci (v odprednesenem rozsahu). Pro zajemce: podrobnejsi verze Fourierovy transformace (vcetne dukazu nekterych tvrzeni, ktere ja jsem preskocil) je v [2].
Seznam doporucene (zkouskove) literatury:

Vlastni poznamky z prednasek
Kopacek, J.: Matematika pro fyziky IV. (skriptum MFF UK)
Kopacek, J.: Matematika pro fyziky V. (skriptum MFF UK)
Dalsi mozna (doplnkova) studijni literatura:

A.Kufner, J.Kadlec: Fourierovy rady, Praha, 1969
W.Rudin: Analyza v realnem a komplexnim oboru, Academia Praha, 1977 (komplexka az do pokrocilejsiho stadia, vcetne Fourierovy transformace a prostoru L^p)
I.Cerny: Analyza v komplexnim oboru Academia Praha, 1983