logo Zkouškové požadavky MAF005 - Matematika pro fyziky III, zimní semestr

Přednášející: M. Rokyta, KMA

Vypsané základní zkouškové termíny

Papír se zkouškovými termíny visí na oblíbeném místě na chodbě proti posluchárně K2 v Karlíně. Na zkouškový termín je možno se přihlásit či z něj odhlásit i emailem. Průběh zkoušek vypsané termíny lze sledovat na zvláštní straně.

Čas Místo Typ
Po, 17.1.2000,   9.00 K4 písemná a ústní
Po, 24.1.2000,   9.00 K4 písemná a ústní
Po, 31.1.2000,   9.00 K4 písemná a ústní
Po, 7.2.2000,   !10.00! K4 písemná a ústní
Po, 14.2.2000,   9.00 K4 písemná a ústní
     
Dále: každý první pracovní den
v měsíci březnu, dubnu, květnu, červnu.
Pak ještě bude po jednom termínu v červenci a srpnu.
Sledujte tuto stránku. 		pracovna M.R. písemná a ústní
     

Písemná část zkoušky

Písemná část zkoušky trvá dvě hodiny, ve kterých bude nutno vyřešit tři příklady z těchto okruhů:

  1. Řešte bez pomoci Fourierovy transformace (na základě věty o derivování funkcí se skoky) obyčejnou diferenciální rovnici v distribucích.
  2. Řešte bez pomoci Fourierovy transformace (na základě věty o Laplaciánu ze sféricky symetrické funkce) parciální diferenciální rovnici 2.řádu - i v nediagonálním tvaru.
  3. Řešte jakkoli rovnici s konvolucí.
  4. Řešte rovnici vedení tepla pro jednu z těchto zadaných možností:
  5. Řešte vlnovou rovnici pro jednu z těchto zadaných možností:
  6. Řešte Dirichletovu úlohu pro Laplaceovu rovnici pro jednu z těchto zadaných možností:
    • na jednoduše souvislé oblasti ve dvou dimenzích metodou konformního zobrazení
    • na mezikruží ve tvaru Fourierovy řady
    • určete na základě této úlohy rozložení náboje, nebo rozložení rychlosti či proudnice pro potenciálové proudění
  7. Užitím Laplaceovy transformace řešte elektrický obvod

Jako dříve bude možno přijít si písemku pouze "prohlédnout", budete se však muset už po 15 minutách rozhodnout, zda odcházíte od písemky bez újmy na obecnosti, nebo zda zůstáváte, čímž přistupujete ke zkoušce a obdržíte v tomto termínu jednu ze čtyř známek.

Ústní část zkoušky

Ústní zkouška bude sestávat ze tří částí:
  1. Krátká diskuse o písemce (chci se přesvědčit, že výpočtu rozumíte)
  2. Jednu otázku z následujícího seznamu otázek si vyberete sami, můžete se tedy speciálně na ni doma připravit a předvést mi, jak.
  3. Jednu otázku z následujícího seznamu otázek vám vyberu sám a dám vám čas na přípravu.
Při ústní zkoušce můžete používat "oficiální tahák", neboť není cílem nadrtit se vzorečky, ale rozumět věci.

OTÁZKY K ÚSTNÍ ZKOUŠCE

  1. Definujte co je to: (temperovaná) distribuce, regulární distribuce, distribuce s kompaktním nosičem, derivování distribucí, přenásobení distribuce funkcí, lineární transformaci distribuce.
  2. Vyslovte a dokažte větu o distributivní derivaci funkcí se skoky a její důsledek - větu o lineárním diferenciálním operátoru v S'.
  3. Vyslovte a dokažte větu o Laplaceově operátoru v S' pro radiálně symetrické funkce a předveďte, jakým způsobem jí použít při hledání radiálně symetrických řešení PDR v S'.
  4. Definujte Fourierovu transformaci pro funkce, zopakujte její základní vlastnosti, definujte F.T. pro distribuce, zformulujte a dokažte větu o jejích vlastnostech na S'.
  5. Napište vzorce pro vztah F.T. a derivace a jeden z nich dokažte.
  6. Definujte tenzorový součin distribucí a dokažte vztah pro jeho Fourierovu transformaci.
  7. Definujte konvoluci distribucí, dokažte vztah pro její Fourierovu transformaci, vztah pro derivaci konvoluce.
  8. Dokažte věty o F.T. plošné sférické míry a o F.T. radiálně symetrické funkce.
  9. Definujte periodickou distribuci, a na základě znalosti F.T. vzorkovací distribuce ukažte vztah mezi periodickou distribucí a odpovídající Fourierovou řadou.
  10. Napište rovnici vedení tepla, ukažte, jak se najde její elementární řešení a princip, jak se najdou řešení s počáteční podmínkou a s pravou stranou.
  11. Ukažte vlastnosti Greenovy funkce pro rovnici vedení tepla a charakter nabývání počáteční podmínky pro spojitá a omezená data.
  12. Ukažte, jak se najde řešení pro vedení tepla na polopřímce a na tyči (úsečce).
  13. Napište vlnovou rovnici, ukažte, jak se najde její elementární řešení a princip, jak se najdou řešení s počáteční podmínkou a s pravou stranou.
  14. Ukažte, že Laplace-Poissonova rovnice na celém prostoru má řešení určeno jednoznačně až na harmonický polynom.
  15. Ukažte, že Laplaceova rovnice v R2 je invariantní vůči transformaci prostým konformním zobrazením. Ukažte totéž pro Diracovu distribuci.
  16. Odvoďte vzorec pro řešení Dirichletovy úlohy na mezikruží v R2.
  17. Definujte Laplaceovu transformaci funkcí a distribucí, pouze napište inverzní formule, a dokažte jeden vzorec dle vlastního výběru.

Konzultace

Konzultaci lze uskutečnit po předběžné dohodě. (Ukázalo se, že se stejně většinou individuálně domlouváme, i když jsou vypsány konzultační hodiny). Chytíte mne takto: Telefon ke mně do pracovny: 221913269, email: mirko.rokyta@mff.cuni.cz čtu téměř denně. Nebude-li vám líto mobilních impulsů, můžete mě zkusit chytit i na čísle 603 342735.

Literatura

  1. Vlastní poznámky z přednášek 1999/2000 doplněné o oficiální "tahák".
    ("Tahák" je dvanáctistránkový soupis všech důležitých vztahů, odvozených na přednášce. Každý, kdo chodil na přednášky, jej má.)

  2. P. Čihák a kolektiv: Matematická analýza V., Matfyzpress, Praha 2001.
    (Obsahuje text celé přednášky, jak byla přednášena Dr. Čihákem. Tohoto textu jsem se držel při přednášení i já.)

  3. P. Čihák, J. Kopáček: Příklady z matematiky pro fyziky V., SPN Praha, 1990, reedice Matfyzpress, Praha 2003.
    (Obsahuje řešené příklady všech požadovaných témat, včetně přehledu teorie, která ke k nim potřeba.)

    Doplňková literatura

  4. L. Schwartz: Matematické metody ve fyzice, Praha 1972.
    (Základní kniha o distribucích.)

  5. V.S. Vladimirov: Uravněnija matěmatičeskoj fiziky Moskva 1976.
    (Rusky, ale výborná. Teorie i příklady.)

  6. A.N. Tichonov, A.A. Samarskij: Rovnice matematické fyziky, Praha 1972.
    (Klasická kniha.)

  7. P. Doktor, O. John. J. Kopáček: Příklady z matematické analýzy VI., skriptum MFF UK, Praha 1983.
    (Příklady z parciálních rovnic.)

  8. W.F. Donoghue, Jr.: Distributions and Fourier transforms. Pure and Applied Mathematics, Academic Press, New York and London, 1969.

  9. J. Ian Richards, Heekyung K. Youn: Theory of Distributions - A non-technical introduction. Combridge University Press, 1990.

  10. P. Antosik, J. Mikusinskij, R. Sikorskij: Teoria obobščennych funkcij. Izdatělstvo Mir, Moskva, 1976.

To je vše, hodně štěstí u zkoušek atd. přeje M.Rokyta.

back