Algebra 1 (NMAG201) - informace k úvodní přednášce z algebry pro obecnou matematiku a matematické metody informační bezpečnosti v zimním semestru 2016/2017.

Upozornění: Tato stránka se týkala přednášky v zimním semestru 2016/2017. Odkaz na aktuální přednášku hledejte na domovské stránce.

Aktuálně

  • Ke stažení v PDF je k dispozici provizorní verze skript D. Stanovského s pořadím témat odpovídajícím přednášce.
  • Byl vypsán poslední termín zkoušky ve čtvrtek 14. září od 10:00 hod. v učebně K2.
  • K dispozici je tabulka s průběžnými výsledky domácích úloh.

Základní informace

Sylabus a základní informace viz popis předmětu ve Studijním informačním systému. Obsah kurzu tvoří úvod do dvou klasických témat, na kterých staví řada dalších přednášek:

  1. teorie dělitelnosti (s důrazem na číselné obory a obory polynomů),
  2. teorie těles (rozšíření těles, algebraický uzávěr, konečná tělesa) a její použití na řešení klasických problémů (konstrukce kružítkem a pravítkem).

Látka je zhruba pokryta kapitolami I, IV a VI skript Davida Stanovského.

Rozvrh (k nalezení též v SISu):

  • přednáška v pondělí, 9:00-10:30 hod. v místnosti K1,
  • cvičení ve čtvrtek, 12:20-13:05 hod. v místnosti K7 (cvičící S. Mokriš),
  • cvičení ve čtvrtek, 13:10-13:55 hod. v místnosti K7 (cvičící S. Mokriš),
  • cvičení ve čtvrtek, 17:20-18:05 hod. v místnosti K2 (cvičící J. Šaroch),
  • cvičení ve čtvrtek, 18:10-18:55 hod. v místnosti K2 (cvičící J. Šaroch).

Konzultace se domlouvají individuálně.

Zkouška

Zkouška bude mít dvě části: písemnou a ústní. Ústní část nemusí absolvovat studenti, kteří jsou spokojeni s hodnocením písemné části. U obou částí se budou zkoušet příklady i teorie. Požadavkem jsou jak znalosti, tak porozumění tématu, hodnotí se také korektní matematický zápis. Podrobnější rozpis zkoušené látky je v tabulce níže. U předtermínu se zkouší vše mimo látku z poslední přednášky z 9. ledna.

Písemná část trvá 150 minut a je hodnocena maximálně 100 body. Z toho max. 85 bodů je za samotný test a max. 15 bodů za domácí úlohy (u předtermínu se počítají 4 nejlepší úlohy z 5 do té doby opravených). K úspěšnému složení zkoušky je třeba aspoň 60 bodů.

K dispozici je vzorový test z minulého akademického roku. Otázky pochopitelně budou upraveny podle toho, co přesně bude probráno na přednáškách v tomto semestru (např. pojem grupy bude letos probírán až v letním semestru).

Vypsané termíny:

  1. úterý 20. prosince od 15:40 hod. v učebně M1 (předtermín, odkaz do SISu).
  2. čtvrtek 19. ledna od 9:00 hod. v učebně K3 (odkaz do SISu),
  3. pátek 27. ledna od 9:00 hod. v učebně K7 (odkaz do SISu),
  4. čtvrtek 9. února od 9:00 hod. v učebně K3 (odkaz do SISu).
  5. čtvrtek 14. září od 10:00 hod. v učebně K2 (odkaz do SISu).

Zápočet

Zápočet bude udělen za domácí úlohy, které budou ob týden ve čtvrtek dopoledne zveřejňovány na této stránce v sekci probrané látky. Termín odevzdání je do pondělí za 14 dní do 10:30 hod. Řešení odevzdávejte do bílé schránky u vchodu na Katedru algebry (preferovaná varianta), případně přednášejícímu osobně nebo elektronicky e-mailem ve formátu PDF.

Na první řešení napište přezdívku, pod kterou budou výsledky zveřejňovány na webu.

Z každé série úloh je možné získat 15 bodů. Celkem bude 6 sérií, počítá se 5 nejlepších. Celkem tedy můžete získat 75 bodů, k udělení zápočtu je třeba 50 %. Domácí úlohy též tvoří 15 % bodů z písemné části zkoušky.

Úlohy je možné konzultovat se spolužáky. Řešení ovšem musí sepsat každý sám.

Co bylo probráno a domácí úlohy

Zde bude aktualizován seznam probrané látky po jednotlivých přednáškách a zadané domácí úlohy.

Datum Bylo probráno Zdroj Úlohy
3. 10. Základní věta aritmetiky (opakování), kongruence, Eulerova věta (důkaz příště). skripta, kap. 3.1 - 3.4  
10. 10. Důkaz Eulerovy věty, Čínská věta o zbytcích, definice komutativních okruhů, oborů integrity a těles. skripta, kap. 3.4 - 4.1 domácí úlohy
17. 10. Důsledky definice komutativních okruhů, okruhy polynomů a formálních mocninných řad a jejich vlastnosti, hodnota polynomu v bodě. skripta, kap. 4.1 - 4.2,
text o polynomech, kap. 2.1 - 2.2 		 
24. 10. Dělení polynomů se zbytkem, kořeny a dělitelnost, věta o interpolaci polynomů, formální derivace polynomu. skripta, kap. 10.1 a 10.6,
text o polynomech, kap. 2.3, 2.4 a 2.6 		domácí úlohy
31. 10. Základní vlastnosti formálních derivací polynomů, charakteristika okruhu, souvislost derivace a násobnosti kořenů, podílová tělesa (konstrukce). skripta, kap. 4.3 a 11.1,
text o polynomech, kap. 1 a 2.5 		 
7. 11. Podílová tělesa (dokončení), dělitelnost v oborech integrity (asociovanost prvků, největší společný dělitel, ireducibilní prvky), počítání modulo polynom. skripta, kap. 4.3 a 5.1 - 5.4,
text o polynomech, kap. 1 		domácí úlohy
14. 11. Počítání modulo polynom a konečná tělesa (dokončení), kvadratická rozšíření celých čísel (okruhy Z[√s]) a vlastnosti normy, dělení se zbytkem v Gaussových celých číslech, definice Gaussových oborů. skripta, kap. 6, 8.1 a 8.2,
text o polynomech, kap. 3 		 
21. 11. Základní vlastnosti a charakterizace Gaussových oborů, Eukleidovy obory (definice). skripta, kap. 6, 7.1 domácí úlohy
28. 11. Dokončení Eukleidových oborů, Gaussova věta o oborech polynomů nad Gaussovými obory, aplikace na obory polynomů více neurčitých nad tělesem a nad celými čísly. skripta, kap. 7.1, 9.1  
5. 12. Pojem ideálu a role okruhů hlavních ideálů, rozšíření těles a jejich stupeň. skripta, kap. 7.2, 25 domácí úlohy
12. 12. Rozšíření těles konečného stupně a algebraická rozšíření, minimální polynom algebraického prvku a jeho vztah ke stupni rozšíření, [T(a):T] = deg ma,T. skripta, kap. 25  
19. 12. Vzorec [U:T] = [U:S]·[S:T] pro stupeň iterovaného rozšíření, charakterizace rozšíření konečného stupně, nemožnost některých konstrukcí pomocí pravítka a kružítka (rektifikace kružnice, kvadratura kruhu, zdvojení krychle, trisekce úhlu). skripta, kap. 25, 26 domácí úlohy
9. 1 Základní věta o symetrických polynomech.    

Literatura

Základním zdrojem jsou skripta D. Stanovského, kde jde pro účely přednášky hlavně o kapitoly I a III, a látku doplňuje připravovaná sbírka úloh:

  • D. Stanovský, Základy algebry, Matfyzpress, 2010,
  • D. Stanovský, Příklady z algebry. [PDF ke stažení]

K dispozici jsou též aktualizované texty od D. Stanovského, které skripta doplňují a více odpovídají řazení témat na přednášce:

Existuje rovněž řada pěkných učebnic v angličtině, např.

  • J. J. Rotman, A First Course in Abstract Algebra: With Applications, Pearson Prentice Hall, 3. vyd., 2006 (2 ks v knihovně),
  • L. Rowen, Algebra: Groups, Rings, and Fields, Taylor & Francis, 1995. [On-line ke stažení]

On-line jsou k dispozici i texty kolegů z katedry, jejich náplň se ale od náplně přednášky často liší: Robert Bashir, Jan Trlifaj, Aleš Drápal, Jan Žemlička.

Další odkazy