Úvod do komutativní algebry (NMAG305) - informace o přednášce v zimním semestru 2021/2022.

Aktuality

Základní informace

Jde o přednášku o klasických tématech z teorie komutativních okruhů, která se hodí na mnoha místech. Hlavní příklady takovýchto okruhů jsou okruhy polynomů více proměnných nad tělesem a číselné obory. Spolu s tím si povíme něco o algebraické geometrii (aneb studiu řešení polynomiálních rovnic) a algebraické teorii čísel.

Rozvrh (také k nalezení v SISu, u druhé devedesátiminutovky se bude po týdnu střídat přednáška a cvičení):

  • středa 14:00-15:30 hod. v učebně K1 a
  • středa 15:40-17:10 hod. v učebně K5.

Konzultace se domlouvají individuálně.

Zkouška

Zkouška bude ústní a termíny budou vypsány později v SISu.

Zápočet

  • Zápočet bude udělován za odevzdané vyřešené úkoly. Půjde o tři sady problémů po 25 bodech, které budou vypisovány níže v této sekci. Na zápočet bude potřeba získat 55 bodů.
  • Řešení se odevzdávají buď osobně na přednášce nebo cvičení, nebo nafocené přes Moodle (v druhém případě, prosím, dbejte na čitelnost, dost tomu pomáhají aplikace do telefonu typu Adobe Scan nebo Genius Scan).
  • Pokud z nějakého vážného důvodu nebudete moci odevzdat úkol včas (např. kvůli nemoci), je třeba se předem domluvit na náhradním postupu.
  • Studenti, kteří se prokazatelně snažili, ale přesto 55 bodů nezískali, budou mít po domluvě možnost opravy formou vyřešení dodatečných úloh.
  • Postup je možné konzultovat se spolužáky, nicméně řešení musí sepsat každý sám a sepsané řešení není dovoleno ukazovat ostatním.

Sady problémů

  • 1. sada (termín: středa 3. 11.)

Program kurzu

Zde bude průběžně doplňován stručný záznam o tom, co bylo probráno, spolu s odkazy do skript a na relevantní videozáznamy přednášek z akad. roku 2019/20.

Datum Probráno Text Video
29. 9. (1. předn.) Motivace (teorie čísel a algebraická geometrie), opakování: komutativní okruhy a ideály. skripta, kap. 1.1 a 1.2 přednáška 1
29. 9. (2. předn.) Faktorokruhy, věta o homomorfismu a tři věty o isomorfismech. skripta, kap. 1.2 přednášky 1 a 2
6. 10. Prvoideály a maximální ideály, hlavní ideály a dělitelnost. skripta, kap. 1.3 a 1.4 přednášky 2 a 3
6. 10. Cvičení: Ideály a operace s nimi, faktorokruhy. cvičení 1  
13. 10. (1. předn.) Noetherovskost a Hilbertova věta o bázi pro R-moduly. skripta, kap. 1.5,
text o modulech
přednáška 3
13. 10. (2. předn.) p-valuace, p-obsah a Gaussovo lemma pro polynomy nad gaussovským oborem. skripta, kap. 1.6 přednáška 4
20. 10. Okruh polynomů nad gaussovským oborem je gaussovský, popis irreducibilních polynomů. Čínská zbytková věta a komaximální ideály. skripta, kap. 1.6 a 1.7 přednášky 4 a 5
20. 10. Cvičení: faktormoduly, Zornovo lemma, Čínská zbytková věta. cvičení 2,
skripta, kap. 1.8,
text o axiomu výběru
 

Literatura

  • Hlavním zdrojem jsou elektronická skripta V. Kaly.
  • K dispozici je i videozáznam přednášek z roku 2019/2020, který strukturou celkem přesně odpovídá aktuální přednášce.
  • V průběhu let sepsali přednášející a cvičící krátké pomocné texty k jednotlivým tématům, kterých se přednáška dotýká. Některé se možná budou hodit:
    • D. Stanovský, Galoisova teorie. [PDF]
    • D. Stanovský, O. Vejpustek, Axiom výběru. [PDF]
    • D. Stanovský, Moduly nad komutativními okruhy. [PDF]
    • J. Šaroch, Lineární nezávislost druhých odmocnin. [PDF]
  • Více o algebraické geometrii (nad rámec této přednášky, vizte přednášku Algebraické křivky (NMAG302)) se lze dozvědět z volně dostupné knihy
    • W. Fulton, Algebraic Curves, 2008. [PDF]
  • Povídání o rozkladu ideálů na prvoideály (rozšířená verze čtvrté kapitoly skript) je k nalezení v článku
    • K. Conrad, Factoring in quadratic fields. [PDF]
  • Existuje samozřejmě i řada anglických učebních textů. Známá, útlá a efektivní (tj. nejde úplně o oddechové čtení) je kniha
    • M. F. Atiah, I. G. MacDonald, Introduction to Commutative Algebra, Addison Wesley, 1969.
    Další tipy jsou v seznamu literatury v SISu.