Úvod do komutativní algebry (NMAG305) - informace o přednášce v zimním semestru 2021/2022.

Aktuality

Základní informace

Jde o přednášku o klasických tématech z teorie komutativních okruhů, která se hodí na mnoha místech. Hlavní příklady takovýchto okruhů jsou okruhy polynomů více proměnných nad tělesem a číselné obory. Spolu s tím si povíme něco o algebraické geometrii (aneb studiu řešení polynomiálních rovnic) a algebraické teorii čísel.

Rozvrh (také k nalezení v SISu, u druhé devedesátiminutovky se bude po týdnu střídat přednáška a cvičení):

  • středa 14:00-15:30 hod. v učebně K1 a
  • středa 15:40-17:10 hod. v učebně K5.

Konzultace se domlouvají individuálně.

Zkouška

Zkouška bude ústní. Distanční zkoušení přes Zoom je možné stejně jako klasické ve vypsaných termínech. V případě zájmu

  • mě kontaktujte, abych o Vaší volbě věděl,
  • v SISu se normálně přihlaste na daný termín.

Termíny budou postupně vypisovány v SISu, jejich seznam je zde:

  • úterý 4. ledna od 9:00 hod. v seminární místnosti KA (odkaz do SISu).
  • úterý 11. ledna od 9:00 hod. v seminární místnosti KA (odkaz do SISu).
  • pondělí 17. ledna od 9:30 hod. v seminární místnosti KA (odkaz do SISu).
  • pátek 28. ledna od 9:30 hod. v seminární místnosti KA (odkaz do SISu).
  • středa 2. února od 9:30 hod. v seminární místnosti KA (odkaz do SISu).

Pro informaci uvádím také seznam témat, z nichž vycházím při zadávání otázek:

  1. Hilbertova věta o bázi,
  2. ireducibilní prvky v R[x] a gaussovskost R[x],
  3. Čínská zbytková věta,
  4. rozšiřování homomorfismů mezi rozkladovými nadtělesy,
  5. existence a jednoznačnost algebraického uzávěru,
  6. separabilní konečná rozšíření jsou jednoduchá,
  7. vlastnosti rozšíření U⊃T, kde T je tvaru T=Fix(U,G),
  8. základní věta Galoisovy teorie,
  9. tělesa konečně generovaná jako modul a jako okruh,
  10. Slabá Hilbertova věta o nulách,
  11. Hilbertova věta o nulách,
  12. rozklad algebraické množiny na ireducibilní komponenty,
  13. krácení ideálů v kvadratických tělesech,
  14. prvoideály a faktorizace v kvadratických tělesech,
  15. popis prvoideálů v kvadratických tělesech.

Zápočet

  • Zápočet bude udělován za odevzdané vyřešené úkoly. Půjde o tři sady problémů po 25 bodech, které budou vypisovány níže v této sekci. Na zápočet bude potřeba získat 55 bodů.
  • Řešení se odevzdávají buď osobně na přednášce nebo cvičení, nebo nafocené přes Moodle (v druhém případě, prosím, dbejte na čitelnost, dost tomu pomáhají aplikace do telefonu typu Adobe Scan nebo Genius Scan).
  • Pokud z nějakého vážného důvodu nebudete moci odevzdat úkol včas (např. kvůli nemoci), je třeba se předem domluvit na náhradním postupu.
  • Studenti, kteří se prokazatelně snažili, ale přesto 55 bodů nezískali, budou mít po domluvě možnost opravy formou vyřešení dodatečných úloh.
  • Postup je možné konzultovat se spolužáky, nicméně řešení musí sepsat každý sám a sepsané řešení není dovoleno ukazovat ostatním.

Sady problémů

  • 1. sada (termín: středa 3. 11.)
  • 2. sada (termín: středa 8. 12.)
  • 3. sada (termín: pondělí 31. 1.)

Program kurzu

Zde bude průběžně doplňován stručný záznam o tom, co bylo probráno, spolu s odkazy do skript a na relevantní videozáznamy přednášek z akad. roku 2019/20.

Datum Probráno Text Video
29. 9. (1. předn.) 1. Základy. Motivace (teorie čísel a algebraická geometrie), opakování: komutativní okruhy a ideály. skripta, kap. 1.1 a 1.2 přednáška 1
29. 9. (2. předn.) Faktorokruhy, věta o homomorfismu a tři věty o isomorfismech. skripta, kap. 1.2 přednášky 1 a 2
6. 10. Prvoideály a maximální ideály, hlavní ideály a dělitelnost. skripta, kap. 1.3 a 1.4 přednášky 2 a 3
6. 10. Cvičení: Ideály a operace s nimi, faktorokruhy. cvičení 1  
13. 10. (1. předn.) Noetherovskost a Hilbertova věta o bázi pro R-moduly. skripta, kap. 1.5,
text o modulech 		přednáška 3
13. 10. (2. předn.) p-valuace, p-obsah a Gaussovo lemma pro polynomy nad gaussovským oborem. skripta, kap. 1.6 přednáška 4
20. 10. Okruh polynomů nad gaussovským oborem je gaussovský, popis irreducibilních polynomů. Čínská zbytková věta a komaximální ideály. skripta, kap. 1.6 a 1.7 přednášky 4 a 5
20. 10. Cvičení: faktormoduly, Zornovo lemma, Čínská zbytková věta. cvičení 2,
skripta, kap. 1.8,
text o axiomu výběru 		 
27. 10. (1. předn.) 2. Galoisova teorie. Opakování k rozšířením těles a definici Galoisovy grupy. Celistvé prvky. skripta, kap. 2.1 - 2.3 přednáška 6
27. 10. (2. předn.) Kořenová a rozkladová nadtělesa - existence a jednoznačnost. Definice algebraického uzávěru. skripta, kap. 2.4 a 2.5 přednášky 6 a 7
3. 11. Existence a jednoznačnost algebraického uzávěru, rozšiřování homomorfismů do algebraického uzávěru. Galoisova grupa a její působení na kořenech polynomů. skripta, kap. 2.5 a 2.6 přednášky 7 a 8
3. 11. Cvičení: Příklady kořenových a rozkladových rozšíření, počítání stupňů rozšíření a Galoisových grup. cvičení 3  
10. 11. (1. předn.) Galoisovy grupy jako permutační grupy a tranzitivita působení na kořenech ireducibilních polynomů. Stupeň separability algebraického rozšíření a separabilní rozšíření. skripta, kap. 2.6 a 2.7 přednáška 8
10. 11. (2. předn.) Perfektní tělesa. Jednoduchost konečných separabilních rozšíření. Podtěleso pevných bodů konečné grupy automorfismů a jeho vlastnosti. Začátek k normálním rozšířením. skripta, kap. 2.7 - 2.9 přednášky 9 a 10
24. 11. Dokončení normálních rozšíření, základní věta Galoisovy teorie včetně důkazu. skripta, kap. 2.9 a 2.10 přednášky 10 a 11
24. 11. Cvičení: Počítání s Galoisovou korespondencí pro rozkladová nadtělesa racionálních polynomů. cvičení 4,
staré cvič. 4,
staré cvič. 5,
skripta, kap. 2.11,
text o nezávisl. odm. 		 
1. 12. (1. předn.) 3. Algebraická geometrie. Algebraické množiny a ideály, příklady a základní vlastnosti. Abstraktní Galoisova korespondence a korespondence daná přiřazeními V a I. skripta, kap. 2.10 a 3.1 přednášky 11 a 12
1. 12. (2. předn.) Radikály a radikálové ideály. Okruhově a modulově konečná rozšíření. skripta, kap. 3.2 a 3.3 přednáška 12
8. 12. Modulově a okruhově konečná rozšíření okruhů, Artinovo-Tateovo lemma, Zariského lemma (aneb okruhově konečné rozšíření těles je nutně modulově konečné), Slabá Hilbertova věta o nulách. skripta, kap. 3.3 a 3.4,
text o Artin-Tateově lem. 		přednášky 12 a 13
8. 12. Cvičení: Radikály ideálů, nilradikály a Jacobsonovy radikály okruhů, algebraické množiny a jejich ideály, konečně generovaný modul nad noetherovským okruhem je noetherovský. cvičení 6  
15. 12. (1. předn.) Hilbertova věta o nulách a korespondence mezi algebraickými množinami a radikálovými ideály. Ireducibilní algebraické množiny. skripta, kap. 3.4 a 3.5 přednášky 13 a 14
15. 12. (2. předn.) 4. Algebraická teorie čísel. Motivace (diofantické rovnice), číselná tělesa a celistvé prvky, norma a stopa. skripta, kap. 4.1 - 4.3 přednášky 14 a 15
22. 12. (1. předn.) Popis OK pro kvadratická rozšíření K tělesa racionálních čísel. Ideály OK - základní vlastnosti a speciální případ věty o krácení. skripta, kap. 4.3 a 4.4 přednáška 15
22. 12. (2. předn.) Obecný případ věty o krácení ideálu. Norma ideálu a její vlastnosti. Existence a jednoznačnost faktorizace nenulového ideálu na součin nenulových prvoideálů. skripta, kap. 4.5 - 4.7 přednáška 16
5. 1. OK je obor hlavních ideálů, právě když je gaussovský. Popis nenulových prvoideálů v OK. skripta, kap. 4.7 a 4.8 přednáška 17
5. 1. Cvičení: Rozklady algebraických množin na ireducibilní komponenty. Počítání s prvoideály v OK. cvičení 6,
cvičení 7 		 

Literatura

  • Hlavním zdrojem jsou elektronická skripta V. Kaly.
  • K dispozici je i videozáznam přednášek z roku 2019/2020, který strukturou celkem přesně odpovídá aktuální přednášce.
  • V průběhu let sepsali přednášející a cvičící krátké pomocné texty k jednotlivým tématům, kterých se přednáška dotýká. Některé se možná budou hodit:
    • D. Stanovský, Galoisova teorie. [PDF]
    • D. Stanovský, O. Vejpustek, Axiom výběru. [PDF]
    • D. Stanovský, Moduly nad komutativními okruhy. [PDF]
    • J. Šaroch, Lineární nezávislost druhých odmocnin. [PDF]
    • J. Šťovíček, Zariského lemma pomocí Artinova-Tateova lemmatu. [PDF]
  • Algoritmus pro výpočet Galoisovy grupy rozkladových nadtěles polynomů třetího a čtvrtého stupně je popsán v článku
    • K. Conrad, Galois groups of cubics and quartics (not in characteristic 2). [PDF]
  • Více o algebraické geometrii (nad rámec této přednášky, vizte přednášku Algebraické křivky (NMAG302)) se lze dozvědět z volně dostupné knihy
    • W. Fulton, Algebraic Curves, 2008. [PDF]
  • Povídání o rozkladu ideálů na prvoideály (rozšířená verze čtvrté kapitoly skript) je k nalezení v článku
    • K. Conrad, Factoring in quadratic fields. [PDF]
  • Existuje samozřejmě i řada anglických učebních textů. Známá, útlá a efektivní (tj. nejde úplně o oddechové čtení) je kniha
    • M. F. Atiah, I. G. MacDonald, Introduction to Commutative Algebra, Addison Wesley, 1969.
    Další tipy jsou v seznamu literatury v SISu.