Výběrová přednáška z teorie reprezentací konečně dimenzionálních algeber v letním semestru 2022/23. Je pořádána pod hlavičkou Výběrové přednášky z MSTR (NMAG499) a volně navazuje na Teorii reprezentací konečně dimenzionálních algeber (NMAG442).

Základní informace

Plán na semestr je následující:

  • Teorie Auslandera a Reiten ohledně popisu kategorie modulů nad konečně dimenzionální algebrou nad tělesem (aneb jak nakreslit kategorii modulů).
  • Probrání některých zajímavých tříd příkladů, např. dědičných algeber (především konečného reprezentačního typu a krotkých), řetězcových algeber atp.
  • Podle časových možností: úvod do derivovaných kategorií, verze teorie Auslandera a Reiten pro derivované kategorie.

Přednáška je rozvržena na středu od 14:00 do 15:30 v seminární místnosti KA.

Co bylo probráno

Zde je uveden stručný přehled probrané látky po jednotlivých přednáškách.

DatumBylo probránoZdroje
01. 03.Motivace: jak zakreslit kategorii modulů, příklad, Ausladerův-Reitenin toulec. Preaditivní kategorie jako okruhy s mnoha objekty. Ideály v aditivních kategoriích, Jacobsonův radikál aditivní kategorie.[ASS], kap. IV.4, app. A.3
08. 03.Ireducibilní zobrazení a souvislost s radikálem kategorie modulů. Minimální skoro štěpitelná zobrazení, souvislost s ireducibilními zobrazeními. Skoro štěpitelné (též Auslanderovy-Reiteniny) posloupnosti. Projektivně a injektivně stabilní kategorie modulů.[ASS], kap. IV.1 a IV.2
15. 03.Projektivně stabilní kategorie modulů jakožto faktor kategorie morfismů mezi projektivními moduly, funktory transpozice Tr a Ausladerovy-Reiteniny translace τ. Interpretace τ na úrovni tříd isomorfismů modulů.[ASS], kap. IV.2, [ARS], kap. IV.1
22. 03.Vztah AR-translace a Nakayamova funktoru, AR-translace a dimenzní vektory (pro dědičné algebry), defekty krátké exaktní posloupnosti a Auslanderova formule pro defekty.[ASS], kap. IV.2, [Kr03]
29. 03.Důkaz formule pro defekty, Auslanderovy-Reiteniny formule, základní vlastnosti Yonedových Ext-grup (mj. vztah aritmetiky v Ext1 a krátkých exaktních posloupností), existence skoro štěpitelných posloupností (začátek důkazu).[ASS], kap. IV.3, [Kr03], [ML63], kap. XII.4 a XII.5
05. 04.Důkaz existence skoro štěpitelných posloupností, Auslanderův-Reitenin toulec algebry jakožto translační toulec, vztah AR-translace a Coxeterova funktoru z [Kr08], jednoduché příklady.[ASS], kap. IV.3 a IV.4
19. 04.Výpočty AR toulce kolem speciálních nerozložitelných modulů. V konečném reprezentačním typu nemá AR toulec násobné hrany. Zběžně AR toulce pro algebry cest Dynkinových diagramů.[ASS], kap. IV.3 a IV.4, [Kr08], kap. 7.1 – 7.3
26. 04.Preprojektivní (a preinjektivní) komponenta AR toulce souvislých dědičných algeber tvaru A = KQ. Zběžně (a bez důkazu) celkový tvar AR toulce pro nekonečný reprezentační typ (tj. když Q není Dynkinův).[Kr08], kap. 7 a 9
03. 05.Motivace a přehled (bez důkazů) k derivovaným kategoriím. Axiomatizace triangulovaných kategorií a funktorů, některé důsledky axiomů (podle [Ha88]).[Ha88], kap. I.1, [Kr22], kap. 3.1
17. 05.Příklady triangulovaných kategorií: stabilní kategorie modulů nad samoinjektivními algebrami a homotopické kategorie komplexů. Ekvivalence Kb(proj A) a Db(mod A) pro konečně dimenzionální algebru A konečné globální dimenze. V dědičném případě je komplex určen svojí kohomologií. Zběžně teorie Auslandera a Reiten pro Kb(proj A) (podle Happela).[Ha87], [Ha88], kap. I.3 – I.5

Literatura

[ARS] M. Auslander, I. Reiten, S. Smalø, Representation theory of Artin algebras, Cambridge University Press, 1997.
[ASS] I. Assem, D. Simson, A. Skowroński, Elements of the representation theory of associative algebras, Vol. 1, Cambridge University Press, 2006.
[Ha87] D. Happel, On the derived category of a finite-dimensional algebra, Comment. Math. Helv. 62 (1987), no. 3, 339–389.
[Ha88] D. Happel, Triangulated categories in the representation theory of finite-dimensional algebras, Cambridge University Press, 1988.
[Kr03] H. Krause, A short proof for Auslander's defect formula, Linear Algebra Appl. 365 (2003), 267-270, DOI: 10.1016/S0024-3795(02)00481-0.
[Kr08] H. Krause, Representations of quivers via reflection functors, arXiv:0804.1428.
[Kr22] H. Krause, Homological theory of representations, Cambridge University Press, 2022.
[ML63] S. Mac Lane, Homology, Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, Band 114, Springer-Verlag, 1963.