Základní informace
Plán na semestr je následující:
- Teorie Auslandera a Reiten ohledně popisu kategorie modulů nad konečně dimenzionální algebrou nad tělesem (aneb jak nakreslit kategorii modulů).
- Probrání některých zajímavých tříd příkladů, např. dědičných algeber (především konečného reprezentačního typu a krotkých), řetězcových algeber atp.
- Podle časových možností: úvod do derivovaných kategorií, verze teorie Auslandera a Reiten pro derivované kategorie.
Přednáška je rozvržena na středu od 14:00 do 15:30 v seminární místnosti KA.
Co bylo probráno
Zde je uveden stručný přehled probrané látky po jednotlivých přednáškách.
Datum | Bylo probráno | Zdroje |
---|---|---|
01. 03. | Motivace: jak zakreslit kategorii modulů, příklad, Ausladerův-Reitenin toulec. Preaditivní kategorie jako okruhy s mnoha objekty. Ideály v aditivních kategoriích, Jacobsonův radikál aditivní kategorie. | [ASS], kap. IV.4, app. A.3 |
08. 03. | Ireducibilní zobrazení a souvislost s radikálem kategorie modulů. Minimální skoro štěpitelná zobrazení, souvislost s ireducibilními zobrazeními. Skoro štěpitelné (též Auslanderovy-Reiteniny) posloupnosti. Projektivně a injektivně stabilní kategorie modulů. | [ASS], kap. IV.1 a IV.2 |
15. 03. | Projektivně stabilní kategorie modulů jakožto faktor kategorie morfismů mezi projektivními moduly, funktory transpozice Tr a Ausladerovy-Reiteniny translace τ. Interpretace τ na úrovni tříd isomorfismů modulů. | [ASS], kap. IV.2, [ARS], kap. IV.1 |
22. 03. | Vztah AR-translace a Nakayamova funktoru, AR-translace a dimenzní vektory (pro dědičné algebry), defekty krátké exaktní posloupnosti a Auslanderova formule pro defekty. | [ASS], kap. IV.2, [Kr03] |
29. 03. | Důkaz formule pro defekty, Auslanderovy-Reiteniny formule, základní vlastnosti Yonedových Ext-grup (mj. vztah aritmetiky v Ext1 a krátkých exaktních posloupností), existence skoro štěpitelných posloupností (začátek důkazu). | [ASS], kap. IV.3, [Kr03], [ML63], kap. XII.4 a XII.5 |
05. 04. | Důkaz existence skoro štěpitelných posloupností, Auslanderův-Reitenin toulec algebry jakožto translační toulec, vztah AR-translace a Coxeterova funktoru z [Kr08], jednoduché příklady. | [ASS], kap. IV.3 a IV.4 |
19. 04. | Výpočty AR toulce kolem speciálních nerozložitelných modulů. V konečném reprezentačním typu nemá AR toulec násobné hrany. Zběžně AR toulce pro algebry cest Dynkinových diagramů. | [ASS], kap. IV.3 a IV.4, [Kr08], kap. 7.1 – 7.3 |
26. 04. | Preprojektivní (a preinjektivní) komponenta AR toulce souvislých dědičných algeber tvaru A = KQ. Zběžně (a bez důkazu) celkový tvar AR toulce pro nekonečný reprezentační typ (tj. když Q není Dynkinův). | [Kr08], kap. 7 a 9 |
03. 05. | Motivace a přehled (bez důkazů) k derivovaným kategoriím. Axiomatizace triangulovaných kategorií a funktorů, některé důsledky axiomů (podle [Ha88]). | [Ha88], kap. I.1, [Kr22], kap. 3.1 |
17. 05. | Příklady triangulovaných kategorií: stabilní kategorie modulů nad samoinjektivními algebrami a homotopické kategorie komplexů. Ekvivalence Kb(proj A) a Db(mod A) pro konečně dimenzionální algebru A konečné globální dimenze. V dědičném případě je komplex určen svojí kohomologií. Zběžně teorie Auslandera a Reiten pro Kb(proj A) (podle Happela). | [Ha87], [Ha88], kap. I.3 – I.5 |
Literatura
[ARS] | M. Auslander, I. Reiten, S. Smalø, Representation theory of Artin algebras, Cambridge University Press, 1997. |
[ASS] | I. Assem, D. Simson, A. Skowroński, Elements of the representation theory of associative algebras, Vol. 1, Cambridge University Press, 2006. |
[Ha87] | D. Happel, On the derived category of a finite-dimensional algebra, Comment. Math. Helv. 62 (1987), no. 3, 339–389. |
[Ha88] | D. Happel, Triangulated categories in the representation theory of finite-dimensional algebras, Cambridge University Press, 1988. |
[Kr03] | H. Krause, A short proof for Auslander's defect formula, Linear Algebra Appl. 365 (2003), 267-270, DOI: 10.1016/S0024-3795(02)00481-0. |
[Kr08] | H. Krause, Representations of quivers via reflection functors, arXiv:0804.1428. |
[Kr22] | H. Krause, Homological theory of representations, Cambridge University Press, 2022. |
[ML63] | S. Mac Lane, Homology, Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, Band 114, Springer-Verlag, 1963. |