NMAG102: Lineární algebra a geometrie 2, letní semestr 2017-2018
Oznámení
- 11.5. Porovnání výsledků midtermů v loňském a tomto roce (včetně druhého midtermu).
- 9.5.
Termín pro odevzdání 11.DU je vzhledem k
rektorskému dni posunutý na čtvrtek 17.5., 14,00,
místo
odevzdání jako obvykle ve schránce na katedře
algebry v Karlíně.
- 26.4.
Termín pro odevzdání 9.DU je mimořádně
posunutý do čtvrtka 3.5., 14,00, místo
odevzdání jako obvykle ve schránce na katedře
algebry v Karlíně. Odevzdat lze rovněž během midtermu dne 2.5.
Kvíz na příští týden nebude,
není žádná přednáška.
- 24.4.
Termíny pro letní semestr už jsou v SISu. Všechny,
kteří se přihlásili na zkoušky bez
uděleného zápočtu (SIS by to dovolit neměl, ale při
určitém pořadí operací při
vypisování termínů to dovolí),
prosím aby se přihlásili znovu.
- 27.3. Porovnání výsledků midtermů v loňském a tomto roce
- 12.3. Výsledky referenda o
termínu pro druhý midterm: účast 98, pro
termín 2.5. hlasovalo 64 (65,3%), pro termín 25.4.
hlasovalo 34 (34,7%) .
- 27.2. Statistika výsledků zkoušek v zimním semestru.
- 15.2.
Vítejte v novém semestru! V tabulce najdete první kvíz. Otevřený bude
nejpozději od pondělí 19.2., vyplňte jej do středy 21.2. 23:59.
Kalendář
Týden od |
Téma |
Přečíst |
Kvíz |
Cvičení |
DÚ |
19.2. |
Skalární součin |
8.1, 8.2 |
1. kvíz
výsledky
odpovědi |
Cv 1
Řeš 1 |
--- |
26.2. |
Kolmost a ortogonalizace |
8.3, 8.4.1, 8.4.2, 8.4.3 |
2. kvíz
výsledky
odpovědi
|
Cv 2
Řeš 2
|
1. DU do 7.3. |
5.3. |
Gramova matice. Unitární zobrazení. Aplikace. |
8.4.4, 8.4.5, 8.5, 8.6 |
3. kvíz
výsledky
odpovědi |
Cv 3
Řeš 3
|
2. DU do 14.3. |
12.3. |
Vlastní čísla a vektory |
9.1, 9.2 |
4. kvíz
výsledky
odpovědi |
Cv 4
Řeš 4
|
3. DU do 21.3. |
19.3. |
Diagonalizovatelnost
1. midterm (21.3.) |
9.3.1 |
5. kvíz
výsledky
odpovědi |
Cv 5
Řeš 5 |
4. DU do 28.3. |
26.3. |
Diagonalizovatelnost 2 |
9.3.2 - 9.3.6 |
6. kvíz
výsledky
odpovědi
|
Cv 6
Řeš 6 |
5. DU do 4.4. |
2.4. |
Jordanův kanonický tvar |
9.4 |
7. kvíz
výsledky
odpovědi |
Cv 7
Řeš 7 |
6. DU do 11.4. |
9.4. |
Unitární diagonalizace |
10.1, 10.2 |
8. kvíz
výsledky
odpovědi |
Cv 8 Řeš 8
|
7. DU do 18.4. |
16.4. |
Singulární rozklad |
10.3, 10.4 |
9. kvíz
výsledky
odpovědi
|
Cv 9
Řeš 9
|
8. DU do 25.4. |
23.4. |
Bilineární formy
|
11.1 - 11.3 |
10. kvíz
výsledky
odpovědi |
Cv 10
Řeš 10 |
9. DU do 3.5. |
30.4. |
1.5. státní svátek
2.midterm (2.5.) |
|
|
Cv 11
Řeš 11 |
10. DU do 9.5. |
7.5. |
8.5. státní svátek
Analýza kvadratických útvarů |
11.4, 11.5 |
11. kvíz
výsledky
odpovědi
|
Cv 12
Řeš 12
|
11. DU do 17.5. |
14.5. |
Afinní prostory a podprostory
16.5. rektorský den |
12.1, 12.2 |
12. kvíz
výsledky
odpovědi
|
Cv 13
Řeš 13 |
12. DU do 23.5. |
21.5. |
Afinní zobrazení. Opakování. |
12.3, 12.4. |
13. kvíz
odpovědi
do 23.5 |
Cv 14
Řeš 14 |
---- |
Organizace kurzu
Organizace kurzu je stejná jako v zimním semestru:
- Každý týden jsou přednášky
věnované konkrétnímu tématu, jemuž se
věnuje pasáž ve skriptech uvedená v kalendáři.
Přednášky nebudou prostým výkladem obsahu
skript, budeme se věnovat především
nejdůležitějším a nejobtížnějším
pojmům, motivacím, aplikacím, vašim dotazům.
Abyste z přednášky něco měli, je třeba si předtím příslušnou pasáž nastudovat
nebo alespoň projít, abyste získali základní orientaci, o čem bude řeč.
Důrazně nedoporučuji psát si během přednášky detailní poznámky, protože
(1) jinak nebudete stíhat přemýšlet, diskutovat, ptát se a (2) poznámky
nebudou příliš cenným (rozhodně ne úplným) studijním materiálem -
nejsou tak koncipované.
-
Jednou z motivací k průběžnému studiu je on-line kvíz o čtyřech otázkách typu abc, který bude otevřen do půlnoci z pondělí na úterý
(s výjimkou prvního týdne, kdy je termín
půlnoc ze středy na čtvrtek). Odkaz na kvíz najdete v
kalendáři. Za úspěšné vyplnění
kvízu (alespoň 3 správné odpovědi ze 4)
získáte 1 bod k domácím úkolům z
daného tématu. Součástí kvízu bude
též možnost položit libovolnou otázku k danému
tématu, odpovědi najdete později rovněž v kalendáři.
Otázky jsou pro nás cenným vodítkem, čemu
se v hodinách více věnovat.
- Cvičení se budou věnovat danému tématu
v následujícím týdnu po
přednáškách. Základní úlohy
probírané na cvičeních budou zveřejněny včetně
vzorového řešení i v kalendáři. Ve
stejném týdnu jako cvičení bude k tématu
zadán domácí úkol,
sestávající ze dvou úloh po 4 bodech.
Termín odevzdání je vždy
následující týden do středy 14:00, místo odevzdání je schránka za vchodem na katedru algebry.
- U domácích úkolů vždy uveďte své jméno a také jméno cvičícího
a den a hodinu, kdy se cvičení koná: budou vám
totiž předávány opravené na vašich
cvičeních. Řešení domácího
úkolu je třeba vypracovat samostatně, můžete je konzultovat mezi
sebou, ale je zakázáno ukazovat si navzájem
sepsaná řešení. Nápadně podobné
chyby či formulace budou znamenat přinejmenším
odebrání bodů oběma stranám. Body za
domácí úkoly a za kvízy se
počítají k zápočtu. Někdy bude zadán
též bonusový příklad, zpravidla
těžší, nad rámec požadavků. Můžete jej odevzdat,
ale řešení nebude mít vliv na výsledek
domácího úkolu.
-
Dvakrát za semestr (21.3. a 25.4.) budou v době přednášky zadány průběžné testy.
Jejich struktura se bude podobat zkouškové písemce, ale bude trvat jen
90 minut a pokrývat pouze dosud odpřednesenou a odcvičenou látku.
Závěrečná zkouška je
písemná a proběhne v 5 zkouškových
termínech, které budou vyhlášeny v SISu.
Všechny požadované znalosti jsou v kapitolách 8-12
skript, zastoupení témat v písemce
odpovídá zhruba času, který jim bude
věnován na přednášce. Testujeme zejména
znalost základních pojmů a porozumění vztahům mezi
nimi, důležitá je ale i schopnost korektně používat
matematický jazyk. Výsledek zkoušky se určí
podle jedné ze dvou variant. Použije se ta, která je pro
studenta příznivější.
- 1. varianta
- 25% 1. test
- 25% 2. test
- 50% závěrečný test
- 2. varianta
Na trojku je potřeba 55%, na dvojku 68% a na
jedničku 80%. V případě zisku alespoň 55% lze v odůvodněných případech
domluvit ústní zkoušení s možnou změnou známky jakýmkoliv směrem o
jakoukoliv hodnotu.
-
Cvičící i přednášející jsou vám k dispozici
pro konzultace, buď ve vyhlášených konzultačních hodinách, nebo po
dohodě e-mailem či osobně. Přednostně se obracejte na svého cvičícího
během cvičení, případně jej požádejte o konzultaci. Snažte se připravit
si na ni konkrétní dotazy ke skriptům či úlohy, které jste se sami
pokoušeli vyřešit. Konzultace není doučování.
Zápočet
- Za každé z 12 témat od
Skalárního součinu až po Afinní prostory bude
možné dostat 9 bodů k zápočtu: 1 za kvíz a 8 za
domácí úkol. Dvě nejhůře obodovaná
témata se škrtají, ze zbylých 10 je třeba
získat 55 bodů. Žádné omluvy (tedy ani např.
nemoc) nejsou přípustné - proto se dva
nejhorší výsledky škrtají.
- Jediná možnost opravy bude jeden opravný termín Po 28.5. v K4 od 9:00.
Opravný zápočtový test bude obsahovat 8 příkladů, bude trvat 90 min. a
bude sestaven z přímočarých početních příkladů. K získání zápočtu je
třeba alespoň 60%, body za domácí úkoly a kvízy nehrají žádnou roli.
-
Cvičící má u výborných studentů a v případě vážných důvodů možnost
udělit zápočet výjimečně dle jiných kritérií. Takový režim je nutné
dohodnout na začátku semestru, nejpozději do půlky března.
Zkouškové písemky
- Zkoušková písemka trvá 3 hodiny, její struktura je následující
- 10 bodů: 5 x jednoduché otázky Ano/Ne, netřeba zdůvodňovat
- 12 bodů: 4 x definice pojmů
- 12 bodů: 6 x jednoduché početní nebo jiné
příklady, které testují pochopení pojmů a
tvrzení, kde stačí správná odpověď
- 15 bodů: 3 x početní příklady, kde je potřeba psát postup
- 12 bodů: 3 x formulace tvrzení
- 12 bodů: 3 x důkazy jednodušších
tvrzení. Můžeme vyžadovat i například části
tvrzení z následujícího seznamu.
- 7 bodů: formulace a důkaz těžšího tvrzení z přednášky.
Můžeme vyžadovat důkazy pomocných tvrzení,
důkaz jen některé z implikací, vyjádřit hlavní myšlenku důkazu
vlastními slovy, apod.
Seznam těžších tvrzení:
- Cauchyho-Schwarzova nerovnost (věta 8.33)
- Charakterizace diagonalizovatelnosti pomocí násobností (věta 9.71)
- Charakterizace unitární diagonalitovatelnosti pomocí násobností (věta 10.4)
- Spektrální věta pro normální operátory - těžší implikace (věta 10.13)
- Věta o singulárním rozkladu (věta 10.29)
- Věta o setrvačnosti kvadratických forem (věta 11.26)
- Charakterizace pozitivně definitních matic (věta 11.33)
- 20 bodů: 4 x úlohy na zamyšlení. K
vyřešení stačí dobře rozumět pojmům a
tvrzením z přednášky a geometrický
názor.
- Průběžné testy trvají 90 minut, jejich
struktura je podobná jako u zkouškové
písemky, maximální počet bodů je poloviční.
- 6 bodů: 3 x jednoduché otázky Ano/Ne, netřeba zdůvodňovat
- 6 bodů: 2 x definice pojmů
- 6 bodů: 3 x jednoduché početní (nebo
jiné) příklady, kde stačí správná
odpověď
- 6 bodů: 1 x početní příklad, kde je potřeba psát postup
- 8 bodů: 2 x formulace tvrzení
- 8 bodů: 2 x důkazy jednodušších tvrzení
- 10 bodů: 2 x úlohy na zamyšlení
- Náplní
1. průběžného testu je látka probraná v kapitole 8, početní úlohy budou
odpovídat základním úlohám ze sad k příslušným cvičením.
- Náplní 2. průběžného testu jsou
kapitoly 9 a 10, početní úlohy budou odpovídat
základním úlohám ze sad k
příslušným cvičením.
- Průběžně doplňované požadavky ke zkoušce.
-
Obsah přednášky
- Standardní skalární součin na R^n a
C^n. Skalární součin, norma, Cauchyho-Schwarzova
nerovnost.
- Kolmost vektorů a množin, ortogonální a
ortonormální posloupnosti a množiny,
ortogonální doplněk.
-
Ortogonální projekce, Gramova-Schmidtova ortogonalizace, QR-rozklad.
Výpočet ortogonální projekce, Gramova matice. Metoda nejmenších čtverců
pro SLR, řešení SLR s nejmenší normou.
- Ortogonální a unitární matice a zobrazení.
- Diskrétní a spojité
lineární dynamické systémy. Vlastní
čísla a vlastní vektory operátorů a matic.
Podobnost. Charakteristický polynom, algebraická
násobnost vlastního čísla.
-
Diagonalizovatelné operátory a matice. Geometrická násobnost,
charakterizace diagonalizovatelnosti. Řešení spojitých lineárních
dynamických systémů s diagonalizovatelnou maticí.
-
Jordanova buňka, matice v Jordanově tvaru, mocniny matic v JKT.
Jordanovy řetízky. Věta o lineární nezávislosti Jordanových řetízků.
Iterovaná jádra a obrazy, výpočet JKT.
-
Unitárně a ortogonálně diagonalizovatelné matice, unitární podobnost,
charakterizace. Normální matice. Spektrální věty pro normální, unitární,
hermitovské a pozitivně (semi)definitní matice. Ortogonální operátory
na R^2 a R^3.
-
Singulární rozklad - různé formulace, singulární čísla. Norma matice,
odhad absolutní a relativní chyby při řešení SLR, aproximace matice
maticí malé hodnosti, pseudoinverze.
-
Bilineární formy, kvadratické formy, matice a analytické vyjádření,
změna báze. Rozklad na symetrickou a antisymetrickou část. Ortogonální
báze, symetrické úpravy. signatura nad R, zákon setrvačnosti, pozitivně
definitní bilineární formy. Ortonormální diagonalizace, analýza
"kvadratických útvarů".
- Afinní a afinní eukleidovský prostor.
Soustava souřadnic, přechodové vztahy. Afinní kombinace,
barycentrické souřadnice.
Kombinace odpovádající vektorům. Poddrostory,
jejich parametrický, rovnicový a bodový popis,
jejich vzájemná poloha a vzdálenost.
Afinní zobrazení, příslušné
lineární zobrazení, souřadnicový popis.
Charakterizace izometrií.
Doplňující materiály
Volně dostupné zdroje v češtině
Volně dostupné zdroje v angličtině
Online kurzy
Další knihy
- J. Bečvář: Lineární algebra, MatfyzPress, 2010
- J. Kopáček a kol.: Matematická analýza pro fyziky I, Příklady z matematiky pro fyziky II
- S. Axler, Linear Algebra Done Right, Springer 2015
- T.S. Blyth, E.F. Robertson, Basic Linear Algebra, Springer Verlag London,2002,
- S.H. Friedberg, A.J. Insel, L.E.Spence, Linear Algebra, Third Edition, Prentice-Hall, Inc., 1997
- L. Bican, Lineární algebra a geometrie, Academia, Praha 2000.
- J. Bečvář, Vektorové prostory I, II, III, SPN Praha 1978, 1981, 1982.
- J. Bečvář, Sbírka úloh z lineárni algebry, SPN Praha 1975.
- L. Bican, Lineární algebra, SNTL Praha 1979.
- L. Bican, Lineární algebra v úlohách, SPN Praha 1979.
|