NMAG102: Lineární algebra a geometrie 2, letní semestr 2017-2018

Oznámení


  • 11.5. Porovnání výsledků midtermů v loňském a tomto roce (včetně druhého midtermu).
  • 9.5. Termín pro odevzdání 11.DU je vzhledem k rektorskému dni posunutý na čtvrtek 17.5., 14,00, místo odevzdání jako obvykle ve schránce na katedře algebry v Karlíně.
  • 26.4. Termín pro odevzdání 9.DU je mimořádně posunutý do čtvrtka 3.5., 14,00, místo odevzdání jako obvykle ve schránce na katedře algebry v Karlíně. Odevzdat lze rovněž během midtermu dne 2.5. Kvíz na příští týden nebude, není žádná přednáška.
  • 24.4. Termíny pro letní semestr už jsou v SISu. Všechny, kteří se přihlásili na zkoušky bez uděleného zápočtu (SIS by to dovolit neměl, ale při určitém pořadí operací při vypisování termínů to dovolí), prosím aby se přihlásili znovu.
  • 27.3.  Porovnání výsledků midtermů v loňském a tomto roce
  • 12.3. Výsledky referenda o termínu pro druhý midterm: účast 98, pro termín 2.5. hlasovalo 64 (65,3%), pro termín 25.4. hlasovalo 34 (34,7%) .
  • 27.2. Statistika výsledků zkoušek v zimním semestru.
  • 15.2. Vítejte v novém semestru! V tabulce najdete první kvíz. Otevřený bude nejpozději od pondělí 19.2., vyplňte jej do středy 21.2. 23:59.

Kalendář

Týden od Téma Přečíst Kvíz Cvičení
19.2. Skalární součin 8.1, 8.2 1. kvíz   výsledky   odpovědi Cv 1   Řeš 1 ---
26.2. Kolmost a ortogonalizace 8.3, 8.4.1, 8.4.2, 8.4.3 2. kvíz   výsledky   odpovědi Cv 2   Řeš 2 1. DU  do 7.3.
5.3. Gramova matice. Unitární zobrazení. Aplikace. 8.4.4, 8.4.5, 8.5, 8.6 3. kvíz   výsledky   odpovědi Cv 3   Řeš 3 2. DU  do 14.3.
12.3. Vlastní čísla a vektory 9.1, 9.2 4. kvíz   výsledky   odpovědi Cv 4   Řeš 4 3. DU  do 21.3.
19.3. Diagonalizovatelnost
1. midterm (21.3.)
9.3.1 5. kvíz   výsledky   odpovědi Cv 5   Řeš 5 4. DU  do 28.3.
26.3. Diagonalizovatelnost 2 9.3.2 - 9.3.6 6. kvíz   výsledky   odpovědi Cv 6   Řeš 6 5. DU  do 4.4.
2.4. Jordanův kanonický tvar 9.4 7. kvíz   výsledky   odpovědi Cv 7   Řeš 7 6. DU  do 11.4.
9.4. Unitární diagonalizace 10.1, 10.2 8. kvíz   výsledky   odpovědi Cv 8   Řeš 8 7. DU  do 18.4.
16.4. Singulární rozklad 10.3, 10.4 9. kvíz   výsledky   odpovědi Cv 9   Řeš 9 8. DU  do 25.4.
23.4. Bilineární formy
11.1 -  11.3 10. kvíz  výsledky   odpovědi Cv 10   Řeš 10 9. DU  do 3.5.
30.4. 1.5. státní svátek
2.midterm (2.5.)
Cv 11   Řeš 11 10. DU  do 9.5.
7.5. 8.5. státní svátek
Analýza kvadratických útvarů
11.4, 11.5 11. kvíz   výsledky   odpovědi Cv 12   Řeš 12 11. DU  do 17.5.
14.5. Afinní prostory a podprostory
16.5. rektorský den
12.1, 12.2 12. kvíz   výsledky  odpovědi Cv 13   Řeš 13 12. DU do 23.5.
21.5. Afinní zobrazení. Opakování. 12.3, 12.4. 13. kvíz   odpovědi do 23.5 Cv 14   Řeš 14 ----

Organizace kurzu

Organizace kurzu je stejná jako v zimním semestru:

  • Každý týden jsou přednášky věnované konkrétnímu tématu, jemuž se věnuje pasáž ve skriptech uvedená v kalendáři. Přednášky nebudou prostým výkladem obsahu skript, budeme se věnovat především nejdůležitějším a nejobtížnějším pojmům, motivacím, aplikacím, vašim dotazům. Abyste z přednášky něco měli, je třeba si předtím příslušnou pasáž nastudovat nebo alespoň projít, abyste získali základní orientaci, o čem bude řeč. Důrazně nedoporučuji psát si během přednášky detailní poznámky, protože (1) jinak nebudete stíhat přemýšlet, diskutovat, ptát se a (2) poznámky nebudou příliš cenným (rozhodně ne úplným) studijním materiálem - nejsou tak koncipované.
  • Jednou z motivací k průběžnému studiu je on-line kvíz o čtyřech otázkách typu abc, který bude otevřen do půlnoci z pondělí na úterý (s výjimkou prvního týdne, kdy je termín půlnoc ze středy na čtvrtek). Odkaz na kvíz najdete v kalendáři. Za úspěšné vyplnění kvízu (alespoň 3 správné odpovědi ze 4) získáte 1 bod k domácím úkolům z daného tématu. Součástí kvízu bude též možnost položit libovolnou otázku k danému tématu, odpovědi najdete později rovněž v kalendáři. Otázky jsou pro nás cenným vodítkem, čemu se v hodinách více věnovat. 
  • Cvičení se budou věnovat danému tématu v následujícím týdnu po přednáškách. Základní úlohy probírané na cvičeních budou zveřejněny včetně vzorového řešení i v kalendáři. Ve stejném týdnu jako cvičení bude k tématu zadán domácí úkol, sestávající ze dvou úloh po 4 bodech. Termín odevzdání je vždy následující týden do středy 14:00, místo odevzdání je schránka za vchodem na katedru algebry.
  •  U domácích úkolů vždy uveďte své jméno a také jméno cvičícího a den a hodinu, kdy se cvičení koná: budou vám totiž předávány opravené na vašich cvičeních. Řešení domácího úkolu je třeba vypracovat samostatně, můžete je konzultovat mezi sebou, ale je zakázáno ukazovat si navzájem sepsaná řešení. Nápadně podobné chyby či formulace budou znamenat přinejmenším odebrání bodů oběma stranám. Body za domácí úkoly a za kvízy se počítají k zápočtu. Někdy bude zadán též bonusový příklad, zpravidla těžší, nad rámec požadavků. Můžete jej odevzdat, ale řešení nebude mít vliv na výsledek domácího úkolu.
  • Dvakrát za semestr (21.3. a 25.4.) budou v době přednášky zadány průběžné testy. Jejich struktura se bude podobat zkouškové písemce, ale bude trvat jen 90 minut a pokrývat pouze dosud odpřednesenou a odcvičenou látku. Závěrečná zkouška je písemná a proběhne v 5 zkouškových termínech, které budou vyhlášeny v SISu. Všechny požadované znalosti jsou v kapitolách 8-12 skript, zastoupení témat v písemce odpovídá zhruba času, který jim bude věnován na přednášce. Testujeme zejména znalost základních pojmů a porozumění vztahům mezi nimi, důležitá je ale i schopnost korektně používat matematický jazyk. Výsledek zkoušky se určí podle jedné ze dvou variant. Použije se ta, která je pro studenta příznivější.
    • 1. varianta
      • 25% 1. test
      • 25% 2. test
      • 50% závěrečný test
    • 2. varianta
      • 100% závěrečný test
    Na trojku je potřeba 55%, na dvojku 68% a na jedničku 80%. V případě zisku alespoň 55% lze v odůvodněných případech domluvit ústní zkoušení s možnou změnou známky jakýmkoliv směrem o jakoukoliv hodnotu.
  • Cvičící i přednášející jsou vám k dispozici pro konzultace, buď ve vyhlášených konzultačních hodinách, nebo po dohodě e-mailem či osobně. Přednostně se obracejte na svého cvičícího během cvičení, případně jej požádejte o konzultaci. Snažte se připravit si na ni konkrétní dotazy ke skriptům či úlohy, které jste se sami pokoušeli vyřešit. Konzultace není doučování.

Zápočet

  • Za každé z 12 témat od Skalárního součinu až po Afinní prostory bude možné dostat 9 bodů k zápočtu: 1 za kvíz a 8 za domácí úkol. Dvě nejhůře obodovaná témata se škrtají, ze zbylých 10 je třeba získat 55 bodů. Žádné omluvy (tedy ani např. nemoc) nejsou přípustné - proto se dva nejhorší výsledky škrtají.
  • Jediná možnost opravy bude jeden opravný termín Po 28.5. v K4 od 9:00. Opravný zápočtový test bude obsahovat 8 příkladů, bude trvat 90 min. a bude sestaven z přímočarých početních příkladů. K získání zápočtu je třeba alespoň 60%, body za domácí úkoly a kvízy nehrají žádnou roli.
  • Cvičící má u výborných studentů a v případě vážných důvodů možnost udělit zápočet výjimečně dle jiných kritérií. Takový režim je nutné dohodnout na začátku semestru, nejpozději do půlky března.

Zkouškové písemky

  • Zkoušková písemka trvá 3 hodiny, její struktura je následující
    • 10 bodů: 5 x jednoduché otázky Ano/Ne, netřeba zdůvodňovat
    • 12 bodů: 4 x definice pojmů
    • 12 bodů: 6 x jednoduché početní nebo jiné příklady, které testují pochopení pojmů a tvrzení, kde stačí správná odpověď
    • 15 bodů: 3 x početní příklady, kde je potřeba psát postup
    • 12 bodů: 3 x formulace tvrzení
    • 12 bodů: 3 x důkazy jednodušších tvrzení. Můžeme vyžadovat i například části tvrzení z následujícího seznamu.
    • 7 bodů: formulace a důkaz těžšího tvrzení z přednášky. Můžeme vyžadovat důkazy pomocných tvrzení, důkaz jen některé z implikací, vyjádřit hlavní myšlenku důkazu vlastními slovy, apod. Seznam těžších tvrzení:
      • Cauchyho-Schwarzova nerovnost (věta 8.33)
      • Charakterizace diagonalizovatelnosti pomocí násobností (věta 9.71)
      • Charakterizace unitární diagonalitovatelnosti pomocí násobností (věta 10.4)
      • Spektrální věta pro normální operátory - těžší implikace (věta 10.13)
      • Věta o singulárním rozkladu (věta 10.29)
      • Věta o setrvačnosti kvadratických forem (věta 11.26)
      • Charakterizace pozitivně definitních matic (věta 11.33)
    • 20 bodů: 4 x úlohy na zamyšlení. K vyřešení stačí dobře rozumět pojmům a tvrzením z přednášky a geometrický názor.
  • Průběžné testy trvají 90 minut, jejich struktura je podobná jako u zkouškové písemky, maximální počet bodů je poloviční.
    • 6 bodů: 3 x jednoduché otázky Ano/Ne, netřeba zdůvodňovat
    • 6 bodů: 2 x definice pojmů
    • 6 bodů: 3 x jednoduché početní (nebo jiné) příklady, kde stačí správná odpověď
    • 6 bodů: 1 x početní příklad, kde je potřeba psát postup
    • 8 bodů: 2 x formulace tvrzení
    • 8 bodů: 2 x důkazy jednodušších tvrzení
    • 10 bodů: 2 x úlohy na zamyšlení
  • Náplní 1. průběžného testu je látka probraná v kapitole 8, početní úlohy budou odpovídat základním úlohám ze sad k příslušným cvičením.
  • Náplní 2. průběžného testu jsou kapitoly 9 a 10, početní úlohy budou odpovídat základním úlohám ze sad k příslušným cvičením.
  • Průběžně doplňované požadavky ke zkoušce.

Obsah přednášky

  • Standardní skalární součin na R^n a C^n. Skalární součin, norma, Cauchyho-Schwarzova nerovnost.
  • Kolmost vektorů a množin, ortogonální a ortonormální posloupnosti a množiny, ortogonální doplněk.
  • Ortogonální projekce, Gramova-Schmidtova ortogonalizace, QR-rozklad. Výpočet ortogonální projekce, Gramova matice. Metoda nejmenších čtverců pro SLR, řešení SLR s nejmenší normou.
  • Ortogonální a unitární matice a zobrazení.
  • Diskrétní a spojité lineární dynamické systémy. Vlastní čísla a vlastní vektory operátorů a matic. Podobnost. Charakteristický polynom, algebraická násobnost vlastního čísla.
  • Diagonalizovatelné operátory a matice. Geometrická násobnost, charakterizace diagonalizovatelnosti. Řešení spojitých lineárních dynamických systémů s diagonalizovatelnou maticí.
  • Jordanova buňka, matice v Jordanově tvaru, mocniny matic v JKT. Jordanovy řetízky. Věta o lineární nezávislosti Jordanových řetízků. Iterovaná jádra a obrazy, výpočet JKT.
  • Unitárně a ortogonálně diagonalizovatelné matice, unitární podobnost, charakterizace. Normální matice. Spektrální věty pro normální, unitární, hermitovské a pozitivně (semi)definitní matice. Ortogonální operátory na R^2 a R^3.
  • Singulární rozklad - různé formulace, singulární čísla. Norma matice, odhad absolutní a relativní chyby při řešení SLR, aproximace matice maticí malé hodnosti, pseudoinverze.
  • Bilineární formy, kvadratické formy, matice a analytické vyjádření, změna báze. Rozklad na symetrickou a antisymetrickou část. Ortogonální báze, symetrické úpravy. signatura nad R, zákon setrvačnosti, pozitivně definitní bilineární formy. Ortonormální diagonalizace, analýza "kvadratických útvarů".
  • Afinní a afinní eukleidovský prostor. Soustava souřadnic, přechodové vztahy. Afinní kombinace, barycentrické souřadnice. Kombinace odpovádající vektorům. Poddrostory, jejich parametrický, rovnicový a bodový popis, jejich vzájemná poloha a vzdálenost. Afinní zobrazení, příslušné lineární zobrazení, souřadnicový popis. Charakterizace izometrií.

Doplňující materiály

  • Volně dostupné zdroje v češtině
  • Volně dostupné zdroje v angličtině
  • Online kurzy
  • Další knihy
    • J. Bečvář: Lineární algebra, MatfyzPress, 2010
    • J. Kopáček a kol.: Matematická analýza pro fyziky I, Příklady z matematiky pro fyziky II
    • S. Axler, Linear Algebra Done Right, Springer 2015
    • T.S. Blyth, E.F. Robertson, Basic Linear Algebra, Springer Verlag London,2002,
    • S.H. Friedberg, A.J. Insel, L.E.Spence, Linear Algebra, Third Edition, Prentice-Hall, Inc., 1997
    • L. Bican, Lineární algebra a geometrie, Academia, Praha 2000.
    • J. Bečvář, Vektorové prostory I, II, III, SPN Praha 1978, 1981, 1982.
    • J. Bečvář, Sbírka úloh z lineárni algebry, SPN Praha 1975.
    • L. Bican, Lineární algebra, SNTL Praha 1979.
    • L. Bican, Lineární algebra v úlohách, SPN Praha 1979.