|
Průběh přednášky (30.9.) Relace ekvivalence a uspořádání. Hasseův diagram. Svazy, úplné svazy [ZA, kap. 2] (5.10.) Eukleidův algoritmus, Základní věta aritmetiky [ZA, 3.1-3.6]. (7.10.) Kongruence, Čínská věta o zbytcích, Eulerova funkce a její výpočet, Eulerova věta [ZA, 3.7-3.13]. (14.10.) Okruhy, podokruhy, obory, podobory [ZA, 4, 20.1, 20.2] , děltelnost v oborech integrity [ZA, 5, 6.1, 6.2]. (19.10.) Gaussovy obory [ZA, 6.3 - 6.6]. (21.10.) Eukleidovy obory a obory integrity hlavních ideálů [ZA, 7.1 - 7.5]. (26.10.) Podílová tělesa oboru integrity [ZA, část 4.3]. (2.11.) Okruhy polynomů. Dělení se zbytkem, polynomy nad komutativním tělesem Eukliedův obor integrity [ZA, 4.2, 4.3]. (4.11.) Kořeny polynomů, vícenásobné kořeny [ZA, 10.1, 10.2, 11.1, 11.2]. (9.11.) Gaussovo lemma [ZA, 9.1, 9.2]. (11.11.) Gaussova věta [ZA, 9.3 - 9.8], algebraická čísla [ZA, 10.3] (16.11.) Obecné algebry a jejich podalgebry [ZA, části 12.1 a 12.2]. (18.11.) Kongruence [ZA, části 24.1 a 24.3], homomorfismy a jejich vlastnosti [ZA, 12.1 - 12.7]. (23.11.) Faktorové algebry, Věta o homomorfismu a 1. věta o izomorfismu [ZA, tvrzení 24.1, 24.2]. (25.11. - 7.12.) Grupy, jejich podgrupy a homomorfismy. Popis cyklických grup [ZA, části 14.1, 14.2, 14.3, 15.1, 15.2, 15.3] (9.12.) Kryptografické aplikace [ZA, část 15.4, 15.5], permutační grupy [ZA, 17.1 - 17.3]. (14.12.) Konjugované permutace, [ZA, 17.4], rozklady grup podle podgrup [ZA, část 18.1, resp. AI 1.12]. (16.12.) Lagrangeova věta, [ZA, 18.5, 18.6, 15.2, resp. AI 1.13-14], normální podgrupy a faktorizace grup [ZA, část 18.2 a Tvr.24.4, resp. AI 1.15]. (21.12.) Věta o homomorfismu a 1. věta o izomorfismu pro grupy [ZA, 22.1, 22.2 jako reformulace 24.1, 24.2 ], reprezentace grup [ZA, 14.7, 14.8], působení grupy na množině [ZA, 19.1 - 19.3]. (4.1.) Burnsideova věta [ZA, 19.4 a násl. příklady]. (6.1.) Komutativní okruhy s jednotkou, ideály, homomorfismy [ZA, 20.6, násl. příklad dosazovacího homomorfismu, 20.8, 20.9], faktorizace okruhů, tělesa a maximální ideály [ZA, 20.5, část 23.1]. (13.1.) Algebraická rozšíření těles, minimální polynom [ZA, 25.1-25.3, tvrzení 25.4 a 25.5 jen s náznakem důkazu], kořenová a rozkladová nadtělese [ZA, část 27.1], konečná tělesa [ZA, kapitola 28]. |
Průběh cvičení Témata 1. zápočtové písemky (30.9.) Příklady svazů (přirozená čísla s realcí /, potence na množině s inkluzí). Algebraické vlastnosti svazů: infimum a supremum jako binární operace průsek a spojení (jejich komutativita a asociativita). (7.10.) Výpočet Eulerovy funkce, určování modulu mocniny pomocí Eulerovy věty. (12.10.) Řešení lineárních diofantických rovnic, Čínská věta o zbytcích (příklady zde). (21.10.) a (26.10) Dělitelnost v některých oborech integrity (Z[i] , Z[V2]). (4.11.) Dělitelnost v okruzích polynomů nad tělesem. (9.11.) Bezoutovy koeficienty v okruzích polynomů nad tělesem. (11.11.) Hledání polynomů, jejichž kořeny jsou konkrétní algebraické prvky. Dělitelnost v okruzích celočíselných polynomů (příklady zde). Témata 2. zápočtové písemky (25.11) Izomorfní a neizomorfní algebry. (2.12) Cyklické grupy, jejich podgrupy a generátory. (7.12) Izomorfní a neizomorfní grupy. (9.12.) počítání řádu permutací, cyklické podgrupy permutační grupy, konjugace v symerické grupě. (16.12.) Použití Lagrangeovy věty (nutné podmínky na velikost podgrup, jejich průniků apod.), normální podgrupy permutačních grup. (21.12.) Podgrupy grupy A4. (4.1.) Kombinatorické užití Burnsideovy věty. (11.1.) Konstrukce konečných těles pomocí ireduciubilních polynomů. |