Program jednotlivých cvičení
Cvičení č. 1 - 5.10. 2018
Úvodní informace, podmínky zápočtu. Dále příklady ze sady o topologických vektorových
prostorech - 1, 3 (podrobně), 4 a 5 (jen velmi stručně, jde o analogii příkladu 3), 7
(začátek - bod (1) a část bodu (2)).
Cvičení č. 2 - 12.10. 2018
Dokončení příkladu 7, důkaz Lemmatu 7 z přednášky, příklad 2 - definice součinové topologie,
kanonické bázové množiny jsou konvexní, spojitost sčítání.
Cvičení č. 3 - 19.10. 2018
Dokončení příkladu 2 - spojitost násobení. Věta o generování lineární topologie
pomocí báze okolí nuly (bez důkazu, byl uveden jen vzorec popisující generovanou topologii).
Aplikace této věty - rychlejší důkaz příkladu 2, dále příklady 8 a 11.
Popis spojitých lineárních funkcionálů na vybraných topologických vektorových prostorech
- příklady 28, 36 a 37 (příklad 37 bude dokončen příště).
Cvičení č. 4 - 26.10. 2018
Dokončení příkladu 37. Dále důkaz úplnosti prostoru Lp(μ)
pro p∈(0,1). Podrobná analýza prostoru z příkladu 3 (generující posloupnost
pseudonorem, je to Fréchetův prostor, není normovatelný, popis spojitých lineárních funkcionálů).
Cvičení č. 5 - 2.11. 2018
Podrobná analýza prostoru KΓ
z příkladu 2 (generující systém pseudonorem
pseudonorem, je metrizovatelný, právě když je Γ spočetná,
pak je to Fréchetův prostor, je normovatelný, právě když Γ je konečná,
popis spojitých lineárních funkcionálů). Schwarzův prostor na R je Fréchetův,
není normovatelný (náznak).
Cvičení č. 6 - 9.11. 2018
Schwarzův prostor na R není normovatelný (úplný důkaz), popis spojitých
lineárních funkcionálu na Schwarzově prostoru. Dále příklady 60 a 63 ze sady pro TVS.
Slabé topologie - připomenutí generujícího systému pseudonorem, popisu duálu; charakterizace
zobrazení do slabé topologie. Dále Příklad 1 ze sady pro slabé topologie.
Cvičení č. 7 - 16.11. 2018
Slabé topologie - příklady 2, 26, 7, 20, 12, slabá konvergence kanonické báze
v c0 a v lp pro p∈(1,∞),
kanonická báze l1 nikam slabě nekonverguje, ale slabě* konverguje k nule; 27-30.
Cvičení č. 8 - 23.11. 2018
Slabé topologie - příklady 15, 9, 10, 11. Vektorová integrace - příklad 1 (jen body (1)-(3))
a část příkladu 14 (charakterizace měřitelnosti dle příkladu 10(1)).
Cvičení č. 9 - 30.11. 2018
Vektorová integrace - dokončení příkladu 14 (charakterizace měřitelnosti dle příkladu 10(1)),
příklad 15 (charakterizace měřitelnosti dle příkladu 10(2)).
Banachovy algebry - připomenutí definic; algebry s jednotkou normy větší než 1
(Příklad 1), vnoření algebry do algebry operátorů (pomocí násobení zleva), ekvivalentní norma, v níž
má jednotka již normu 1, aplikace na algebry z příkladu 1; příklady 2,3 a začátek příkladu 4.
Cvičení č. 10 - 7.12. 2018
Banachovy algebry - příklady 4, 6, operace přidání jednotky a možnost zavedení různých norem
na rozšířené algebře, jako ilustrace příklad 11(4), dále příklad 12 a komplexní homomorfismy na
této algebře, i v konkrétních případech (tj. příklady 40, 41(1), 42(1)).
Cvičení č. 11 - 14.12. 2018
Banachovy algebry - příklady 25, 31, 32, 38 (část).
Cvičení č. 12 - 21.12. 2018
Příklady 38 (dokončení), 20, 24, 42, 43.
Cvičení č. 13 - 4.1. 2019
Příklad 39, 45 (část), konvoluční algebry na lokálně kompaktních abelovských grupách,
vztah Gelfandovy a Fourierovy transformace.
Cvičení č. 14 - 11.1. 2019
Příklad 45 (oprava a dokončení), aplikace na popis multiplikativních funkcionálů na
algebře spojitých funkcí, které jsou holomorfní na vnitřku, aplikace Gelfandovy transformace
na důkaz toho, že součin dvou nezáporných komutujících prvků v C*-algebře je nezáporný, příklady 26,27,35(1,2,část 4).
