Program jednotlivých přednášek a cvičení
Přednáška č. 1 - 20.2.2017
Úvodní informace - stručný obsah kurzu, informace k zápočtům. Začátek oddílu X.1 (neomezené operátory mezi Banachovými prostory) - do Tvrzení 4 včetně.
Přednáška č. 2 a cvičení č. 1 - 21.2.2017
Pokračování oddílu X.1 - Tvrzení 5 a Tvrzení 7, začátek oddílu X.2 (spektrum neomezeného operátoru) - definice rezolventní množiny,
rezolventní funkce a spektra.
Diskuse podmínek z Tvrzení 7 pro neuzavřené operátory, včetně příkladů, aplikace pro porovnání různých
verzí definice rezolventní množiny, příklad ilustrující, že může nastat T(R+S)⫌TR+TS.
Přednáška č. 3 - 27.2.2017
Dokončení oddílu X.2 - Tvrzení 8 a Lemma 9. Oddíl X.3 (operátory na Hilbertově prostoru) - do Tvrzení 11 včetně.
Cičení č. 2 - 28.2.2017
Operátory násobení na c0 a na lp pro p∈[1,∞) - jsou uzavřené, hustě definované,
spektrum a charakterizace omezenosti. Neomezené operátory násobení na l∞ nejsou hustě definované.
Využití operátorů násobení pro konstrukci protipříkladů (ST nemusí mít uzavřené rozšíření, ani když S je omezený
a T uzavřený hustě definovaný; S+T nemusí mít uzavřené rozšíření, ani když S a T jsou hustě definované a uzavřené
se stejným definičním oborem). Operátory násobení na Lp(μ) pro p∈[1,∞) - jsou uzavřené, hustě definované,
charakterizace omezenosti a spektrum (nedokončeno).
Přednáška č. 4 - 6.3.2017
Pokračování oddílu X.3 - od Tvrzení 12 do Tvrzení 17 včetně.
Přednáška č. 5 a cvičení č. 3 - 7.3.2017
Dokončení oddílu X.3 - od Lemmatu 18 do konce oddílu.
Spektrum operátoru násobení - dokončení. Operátory Tj:f↦f' na různých podprostorech
L2(0,1) - D(T1)={f∈AC[0,1]; f'∈L2(0,1)},
D(T2)={f∈D(T1); f(0)=0}, D(T3)={f∈D(T1); f(1)=0},
D(T4)={f∈D(T1); f(0)=f(1)=0}, D(T5)={f∈D(T1); f(0)=f(1)}
- výpočet adjungovaných operátorů.
Přednáška č. 6 - 13.3.2017
Oddíl X.4 (symetrické operátory a Cayleyova transformace) - do Věty 24 včetně.
Přednáška č. 7 a cvičení č. 4 - 14.3.2017
Dokončení oddílu X.4 - závěrečné poznámky (1) a (2); poznámka (3) jen stručně zmíněna.
Dále oddíl X.5 (integrál podle spektrální míry) - do poznámky za Lemmatem 25 včetně.
Vlastní čísla a spektrum operátorů Tj:f↦f' z minulého cvičení.
Přednáška č. 8 - 20.3.2017
Pokračování oddílu X.5 - od Tvrzení 26 do Věty 28 včetně první části důkazu (D(Φ(f))
je hustý podprostor).
Přednáška č. 9 a cvičení č. 5 - 21.3.2017
Pokračování oddílu X.5 - dokončení důkazu Věty 28 a Věta 29(a,b).
Výpočet adjungovaných operátorů k operátorům T1,2:f↦f', kde
D(T1)={f∈ACloc[0,∞); f,f'∈L2(0,∞)},
D(T2)={f∈D(T1); f(0)=0} (téměř dokončeno).
Přednáška č. 10 - 27.3.2017
Dokončení oddílu X.5 - Věta 29(c,d,e) a Tvrzení 30. Dále oddíl X.6 (spektrální rozklad samoadjungovaného operátoru) - do Věty 33 včetně.
Konstrukce měřitelného kalkulu a spektrální míry pro omezený normální operátor (včetně Tvrzení 31) byla jen stručně připomenuta.
Přednáška č. 11 a cvičení č. 6 - 28.3.2017
Dokončení oddílu X.6 - od Lemmatu 34 do konce oddílu.
Dokončení výpočtu adjungovaných operátorů k operátorům T1,2 z minulého cvičení,
výpočet vlastních čísel a spektra.
Přednáška č. 12 - 3.4.2017
Oddíl X.7 (Neomezené normální operátory)- Lemmata 38 a 39 s důkazem; Věta 40 a základní schéma důkazu, její důsledky.
Dále oddíl X.8 (Doplňky k teorii neomezených operátorů) - Věta 44 a základní schéma důkazu Tvrzení 43.
Přednáška č. 13 a cvičení č. 7 - 4.4.2017
Dokončení oddílu X.8 - Tvrzení 45 a Věta 46 včetně základního postupu důkazu.
Výpočet adjungovaného operátoru k operátoru T:f↦f', kde
D(T)={f∈ACloc(R); f,f'∈L2(R)},
výpočet spektra a začátek výpočtu diagonalizace.
Přednáška č. 14 - 10.4.2017
Začátek kapioly XI (Více o lokálně konvexních topologiích), oddíl XI.1 (Svaz lokálně konvexních
topologií a přípustné topologie) - do definice Mackeyho topologie včetně.
Cvičení č. 8 - 11.4.2017
Spektrální míra operátoru násobení; diagonalizace operátoru derivování na L2(R) pomocí
Fourierovy transformace, jeho spektrální míra; diagonalizace operátoru derivování na L2(0,2π)
pomocí Fourierových řad pro různé okrajové podmínky, spektrální míra těchto operátorů.
Cvičení č. 9 - 18.4.2017
Laplaceův operátor na L2(Ω) definovaný na prostoru testovacích funkcí na Ω a na prostoru restrikcí testovacích
funkcí na Rd - popis adjungovaných operátorů pomocí prostorů Sobolevova typu, operátory lze uzavřít; samoadjungovaný Laplaceův operátor
na L2(Rd); konstrukce samoadjungovaného Laplaceova operátoru na L2(Ω).
Přednáška č. 15 - 24.4.2017
Pokračování oddílu XI.1 - od Lemmatu 4 do Důsledku 8 včetně.
Přednáška č. 16 - 25.4.2017
Dokončení oddílu XI.1 - Příklad 9. Dále oddíl XI.2 (bw*-topologie a Krein-Šmulyanova věta) - do Věty 12
včetně.
Přednáška č. 17 a cvičení č. 10 - 2.5.2017
Dokončení oddílu XI.2 - od Důsledku 13 do konce oddílu.
Topologie stejnoměrné konvergence na prvcích daného systému omezených podmnožin normovaného prostoru
a její duál; aplikace na topologii stejnoměrné konvergence na omezených spočetných množinách.
Cvičení č. 11 a Přednáška č. 18 - 9.5.2017
Prostory c0(Γ) a lp(Γ) pro p∈[1,∞)
s topologií bodové konvergence - popis duálu, splývání slabé a Mackeyho topologie, topologie stejnoměrné konvergence
na slabě* kompaktních množinách je ostře silnější než Mackeyho topologie.
Oddíl XI.3 (Kompaktní konvexní množiny) - do Lemmatu 17 včetně.
Přednáška č. 19 - 15.5.2017
Pokračování oddílu XI.3 - od Věty 18 do Tvrzení 22 včetně.
Přednáška č. 20 a cvičení č. 12 - 16.5.2017
Dokončení oddílu XI.3 - od Věty 23 do konce oddílu.
Kompaktní konvexní množiny v R3 s neuzavřenou množinou extremálních bodů
a s ne-Fσ množinou extremálních bodů; prorovnání bw* a w* topologie
na lq pro q∈(1,∞] s použitím násobků kanonických vektorů.
Přednáška č. 21 - 22.5.2017
Oddíl XI.4 (Slabě kompaktní množiny a operátory v Banachových prostorech) - do Lemmatu 25 včetně,
dále Lemma 27 a důkaz Věty 26 pomocí Lemmatu 27, Věty 28 a Tvrzení 29.
Přednáška č. 22 - 23.5.2017
Dokončení oddílu XI.4 - od Věty 28 do konce oddílu.
