Matematika A

Všechny přednášky jsou ke stažení zde (nutný insis login).

Datum	Téma	DÚ
16.2.	Úvodní informace. Jazyk matematiky - číselné obory, intervaly. Logické a množinové operace. Lineární a kvadratické funkce	DU1
23.2.	Funkce kubické, racionální lomené, lineární lomené, mocniny, odmocniny	DU2
2.3.	Exponenciála, logaritmus. Posloupnost a její limita	DU3 DU4
9.3.	Výpočet limity posloupnosti	DU5 DU6
16.3.	Spojitost a limita funkce	DU7
23.3.	Derivace funkce, výpočet tečny	DU8 DU9
30.3.	L'Hospitalovo pravidlo. Monotonie funkce	DU10
6.4.	Pondělí velikonoční	--
13.4.	Konvexita, konkavita, asymptoty	DU11 DU12
20.4.	Vyšetření průběhu funkce. Funkce více proměnných--úvod	DU13
27.4.	Průběžný test (od 14:30) Parciální derivace, stacionární body (od 16:15)
4.5.
11.5.

 

Minitesty na cvičeních

Datum	Číslo týdne	Obsah minitestu
24.2.	2	Graf kvadratické funkce (průsečíky s osami, vrchol)
3.3.	3	Graf lineární lomené funkce (průsečíky s osami, střed, asymptoty)
10.3.	4	Rovnice s exponenciálou a logaritmem
17.3.	5	Limita posloupnosti
24.3.	6	Limity funkcí v krajních bodech D_f
31.3.	7	Derivace funkce
7.4.	8	Inovační týden - minitest není
14.4.	9	Výpočet tečny
21.4.	10	Monotonie funkce

 

Obsah průběžného testu

Průběžný test bude obsahovat výběr z těchto témat:
a) graf kvadratické, lineární lomené funkce,
b) limita posloupnosti a funkce,
c) rovnice s exponenciálou, logaritmem,
d) derivace (složitější) funkce,
e) úlohy s tečnami ke grafu (lehké) funkce,
f) průběh (lehké) funkce, tedy její definiční obor, sudost/lichost, průsečíky s osami, případně jiné význačné hodnoty, znaménko funkce, limity v krajních bodech D_f, intervaly monotonie, lokální a globální extrémy, obor hodnot, asymptoty, oblasti konvexity/konkavity včetně inflexních bodů, graf funkce.

Vzorové zadání a řešení průběžného testu varianta A, varianta B.

 

Další studijní materiály

Kompletní testy z předchozích semestrů (zadání, převážně bez řešení).

 

Obsah přednášky podrobněji

16.2. Organizační věci. Motivace ke studiu matematiky. I. První setkání s funkcemi. Reálná čísla a další číselné obory. Intervaly. Množinové a logické operace, kvantifikátory. Rovnice, nerovnice a grafy jednochých funkcí v kartézských souřadnicích: (a) Lineární rovnice a nerovnice, lineární funkce. Význam koeficientů lineární funkce (průsečík s osou y, směrnice přímky, přímka rostoucí/klesající). (b) Kvadratické funkce a rovnice: diskriminant, výpočet kořenů, Vietovy vztahy.

23.2. Kvadratické funkce a rovnice: graf, význam koeficientů (konvexita, konkavita). Výpočet a znázornění vrcholu paraboly. Kvadratické nerovnice - řešení pomocí grafu a pomocí tabulky. (c) Kubické rovnice a nerovnice (odhadnutí celočíselných kořenů, dělení polynomů). Jak asi vypadá graf kubické funkce? (d) Rovnice s racionálními lomenými funkcemi (a řešení nerovnic pomocí tabulky). (e) Lineární lomená funkce, asymptoty a střed hyperboly, posun grafu funkce 1/x. (f) Funkce absolutní hodnota. (g) Mocniny, odmocniny.

2.3. Mocniny s racionálním exponentem. Grafy mocnin a odmocnin. (h) Exponenciála - základní vlastnosti a vzorce. Logaritmus - základní vlastnosti a vzorce. Definiční obory funkcí. II. Posloupnosti a limity. Posloupnosti konečné a nekonečné. Posloupnost aritmetická a geometrická. Konečná a nekonečná limita posloupnosti, pojem konvergence/divergence, základní příklady. Limita aritmetické a geometrické posl.

9.3. Aritmetika limit (= Limita součtu, rozdílu, součinu a podílu), rozšířené operace s limitami (tj. i s nekonečnými). Výpočet limit posloupností, početní finta č.1 (vytknutí členů s nejvyššími mocninami), totéž pro neceločíselné mocniny, vytýkání zpod odmocniny. Finta č.2 (vytknutí exponenciál s nejvyššími základy). Finta č.3 (odečtení odmocnin pomocí rozšíření výrazem s opačným znaménkem). Zavedení Eulerova čísla a exponenciály pomocí limit jistých posloupností. Ekonomický význam Eulerova čísla a exponenciály. Řady konečné a nekonečné, příklady - zejména geometrická řada. Zavedení Eulerova čísla a exponenciály pomocí jistých nekonečných řad.

16.3. III. Funkce jedné proměnné. Pojem funkce = funkční předpis + definiční obor. Obor hodnot. Pojem prostá funkce, inverzní funkce a jak vznikne její graf z původní funkce. Pojem složená funkce, spojitost funkce. Limita funkce, jednostranné limity, základní příklady s limitami. Výpočet limity funkce: aritmetika limit, věta o limitě složené funkce. Rozlišení podle polohy bodu x_0 vzhledem k D_f: (1) v bodě v D_f spojité funkce je limita rovna funkční hodnotě, (2) v krajním bodě D_f: (2a) je-li bodem x_0 (plus minus) nekonečno, používáme analogické postupy jako u limit posloupností s opatrností ohledně znamének. (2b) Je-li bod x_0 konečné číslo: výpočet limity typu a/0 pomocí tzv. "dělení kladnou a zápornou nulou". Limity exponenciály a logaritmu v krajních bodech.

23.3. Derivace funkce: motivace, zavedení a výpočet z definice. Derivace základních funkcí. Pravidla pro derivaci součtu, rozdílu, součinu a podílu, a pro derivaci složené funkce. Příklady. Význam derivace funkce v bodě jako směrnice příslušné tečny, výpočet rovnice tečny v daném bodě. Nekonečná derivace. Jednostranné derivace, absolutní hodnota jako příklad funkce, která nemá v 0 derivaci.

30.3. L'Hospitalovo pravidlo pro výpočet limity funkce typu 0/0, nekonečno/nekonečno a jeho užití v příkladech (zejména limity kombinací exp a log s mocninami). Monotonie funkce (funkce rostoucí, klesající, nerostoucí, neklesající v intervalu). Lokální a globální extrémy. Stacionární body. Vztah mezi znaménkem derivace a monotonií funkce. Výjimečné (podezřelé) body = kandidáti na extrém. Zjištění monotonie mezi dvěma výjimečnými body. Příklady na výpočet monotonie a extrémů.

13.4. Funkce sudé a liché. Konvexita - konkavita, inflexní body, druhá derivace. Asymptoty: svislé v bodě, obecné v plus minus nekonečnu, jak poznat vodorovnou asymptotu z limity funkce v nekonečnu, výpočet obecných (šikmých) asymptot v nekonečnu. Přehled dílčích kroků při vyšetření průběhu funkce (Desatero). Příklady vyšetření průběhu funkce.

20.4. Příklady vyšetření průběhu funkce. IV. Funkce více proměnných. Soustavy lineárních rovnic 2x2. Rovnice přímky, rovnice kružnice, soustavy nelineárních rovnic. Parciální derivace, stacionární bod funkce.