Matematická analýza II - cvičení

  • Kdy a kde: Po, 10:40 - 12:55, T5
  • Kdy a kde: Pá, 12:20 - 14:35, T10
  • Během cvičení můžete získat až 25 bodů, přičemž až 18 za písemky (budeme psát tři) a 7 za aktivitu na cvičení.
  • Tyto body budou zohledněny při zkoušce
  • Pro zápočet, který je nutný ke zkoušce, je nutné získat alespoň 13 bodů.
  • Body za aktivitu můžete získat třemi způsoby:
    1. Dobrým vyřešením předem připraveného příkladu během cvičení
    2. Vyřešením zapsaného příkladu a jeho pěkným sepsáním a zasláním mně (bude zpřístupněno jako extra studijním materiály ostatním)
    3. Vyřešením zapsaného dobrovolného domácího úkolu (budou 3). Každý domácí úkol přidá body za aktivitu navíc k tomu, co byste dostali bez nich. Kdo byste měli získat výrazně více bodů za aktivitu než 7, dostane jenom 7, ale doplním pak přednášejícímu poznámku o Vaší vysoké aktivitě během cvičení.
  • Doporučuji zúčastnit se všech cvičení, ale docházka není nutná. Doporučuji také propočítat si cvičebnici Kopáček a kol. pro 2. semestr.
  • Další studijní materiály a diskuse budou přístupné v rámci MS Teams.
  • Po osobní domluvě jsou možné individuální konzultace

Příklady na cvičení

  1. Po 14.2., Pá 18.2.: Riemannův integrál
  2. 21.2., 25.2.: Aplikace Riemannova integrálu
  3. 28.2., 4.3.: ODR: Separace proměnných
  4. 7.3., 11.3.: ODR: Lineární rovnice prvního řádu a Bernoulliho rovnice
  5. 14.3., 18.3.: ODR: Lineární rovnice s konstantními koeficienty a jiné
  6. 21.3., 25.3.: Číselné řady s nezápornými koeficienty
  7. 28.3., 1.4.: 1. písemka (ODR). Číselné řady s obecnými koeficienty
  8. 4.4., 8.4.: Mocninné řady
  9. 11.4., 22.4.: 2. písemka (páteční skupina, řady). Limity funkcí více proměnných a parciální derivace
  10. 25.4., 29.4.: 2. písemka (pondělní skupina, řady). Totální diferenciál a rovnice ve tvaru totálního diferenciálu
  11. 2.5., 6.5.: Extrémy funkcí více proměnných a IFT
  12. 9.5., 13.5.: Vázané extrémy funkcí více proměnných
  13. 16.5., 20.5.: 3. Písemka (extrémy funkcí více proměnných). Metrické prostory a Banachova věta

Dobrovolné domácí úkoly

  1. Stabilita Exploreru I (5 bodů za aktivitu):
    Dynamika momentu hybnosti tuhého tělesa je pro pozorovatele korotujícího s tělesem popsaná soustavou obyčejných diferenciální rovnic \(\dot{m}_i = \epsilon_{ijk}m_j \frac{\partial E}{\partial m_k}\), kde \(i\in\{1,2,3\}\) a kde uvažujeme Einsteinovu sumační konvenci. Energie tělesa se dá zapsat jako \(E = \frac{m_1^2}{2I_1} + \frac{m_2^2}{2I_2} + \frac{m_3^2}{2I_3}\), kde \(I_1>I_2>I_3\) jsou hlavní momenty setrvačnosti tělesa. Dokažte, že rotace kolem os s největším a nejmenším momentem setrvačnosti (osy 1 a 3) je stabilní. Postupujte tak, že zlinearizujete obyčejné diferenciální rovnice pro \(\mathbf{m}\) okolo stavu čisté rotace kolem dané osy a budete pozorovat, že malá odchylka od čisté rotace neroste (například pomocí vlastních čísel maticové exponenciály). Je stabilní i rotace okolo prostřední osy (s \(I_2\))?
    Bonus: Ve skutečnosti je stabiliní pouze rotace okolo osy s největším momentem setrvačnosti. Uměli byste odůvodnit proč?
  2. Falešná hrací kostka (3 body za aktivitu):
    Férová šestistěnná hrací kostka dává každé číslo mezi 1 až 6 se stejnou pravděpodobností a průměr hozených hodnot je 3.5. Představme si však falešnou hrací kostku, která má průměr 4.0. Jak odhadnout pravděpodobnosti jednotlivých stěn?
    Podle teorie informace dává Shannonova entropie, \(S(p_1,p_2,p_3,p_4,p_5,p_6) = -\sum_{i=1}^6 p_i \ln p_i\), jednoznačně míru naší neznalosti o daném systému. Proto její maximalizací za daných podmínek získáme nejobjektivnější odhad rozdělení pravděpodobností jednotlivých stěn kostky. Najděte toto rozdělení, za podmínek, že průměr hodů je 4.0 a že součet pravděpodobností všech stěn je roven jednotce.
    Poznámka: Možná budete potřebovat vyřešit algebraickou rovnici numericky.