Matematická analýza II - cvičení

  • Kdy a kde: Po, 10:40 - 12:55, T8
  • Během cvičení budeme psát dvě písemky, za které je nutné získat alespoň polovinu bodů z maximálního součtu.
  • Podmínky zápočtu jsou zde.
  • Na konci semestru bude opravná písemka.
  • Doporučuji zúčastnit se všech cvičení, ale docházka není nutná. Doporučuji také propočítat si cvičebnici Kopáček a kol. pro 2. semestr.
  • Po osobní domluvě jsou možné individuální konzultace
  • Další informace jsou dostupné na stránkách přednášejícího.

Příklady na cvičení

  1. 16.2.: Riemannův integrál. Užitečné vzorce (dle M. Pokorného).
  2. 23.2.: Riemannův integrál
  3. 2.3.: Číselné řady s nezápornými koeficienty
  4. 9.3.: Číselné řady s obecnými koeficienty
  5. 16.3.: Mocninné řady
  6. 23.3.: Diferenciální rovnice 1. řádu
  7. 30.3. Diferenciální rovnice n. řádu a Bernoulliova rovnice
  8. 13.4.: Funkce více proměnných
  9. 20.4.: Záměna proměnných
  10. 27.4.: Rovnice ve tvaru totálního diferenciálu
  11. 4.5.: Lokální extrémy funkcí více proměnných
  12. 11.5.: Globální a vázané extrémy funkcí více proměnných a slovní úlohy
  13. 18.5.: Věta o implicitní funkci.

Dobrovolné domácí úkoly

  1. Stabilita Exploreru I:
    Dynamika momentu hybnosti tuhého tělesa je pro pozorovatele korotujícího s tělesem popsaná soustavou obyčejných diferenciální rovnic \(\dot{m}_i = \epsilon_{ijk}m_j \frac{\partial E}{\partial m_k}\), kde \(i\in\{1,2,3\}\) a kde uvažujeme Einsteinovu sumační konvenci. Energie tělesa se dá zapsat jako \(E = \frac{m_1^2}{2I_1} + \frac{m_2^2}{2I_2} + \frac{m_3^2}{2I_3}\), kde \(I_1>I_2>I_3\) jsou hlavní momenty setrvačnosti tělesa. Dokažte, že rotace kolem os s největším a nejmenším momentem setrvačnosti (osy 1 a 3) je stabilní. Postupujte tak, že zlinearizujete obyčejné diferenciální rovnice pro \(\mathbf{m}\) okolo stavu čisté rotace kolem dané osy a budete pozorovat, že malá odchylka od čisté rotace neroste (například pomocí vlastních čísel maticové exponenciály). Je stabilní i rotace okolo prostřední osy (s \(I_2\))?
    Bonus: Ve skutečnosti je stabiliní pouze rotace okolo osy s největším momentem setrvačnosti. Uměli byste odůvodnit proč?
  2. Falešná hrací kostka:
    Férová šestistěnná hrací kostka dává každé číslo mezi 1 až 6 se stejnou pravděpodobností a průměr hozených hodnot je 3.5. Představme si však falešnou hrací kostku, která má průměr 4.0. Jak odhadnout pravděpodobnosti jednotlivých stěn?
    Podle teorie informace dává Shannonova entropie, \(S(p_1,p_2,p_3,p_4,p_5,p_6) = -\sum_{i=1}^6 p_i \ln p_i\), jednoznačně míru naší neznalosti o daném systému. Proto její maximalizací za daných podmínek získáme nejobjektivnější odhad rozdělení pravděpodobností jednotlivých stěn kostky. Najděte toto rozdělení, za podmínek, že průměr hodů je 4.0 a že součet pravděpodobností všech stěn je roven jednotce.
    Poznámka: Možná budete potřebovat vyřešit algebraickou rovnici numericky.