\begin{align} \end{align}

Podobná zobrazení

Definice

Zobrazení \(f\) v rovině je podobné zobrazení, jestliže existuje číslo \(k > 0\), že pro každé dva body \(X\), \(Y\) roviny a jejich obrazy \(X'\), \(Y'\) platí \(|X'Y'|=k\cdot |XY|\).

Podobné zobrazení se také nazývá podobnost.

Číslo \(k\) se nazývá koeficient podobnosti.

Všimněme si, že pro \(k=1\) je definice podobného zobrazení stejná jako definice shodného zobrazení. Shodné zobrazení je jen speciálním případem podobného zobrazení.

Podobné zobrazení s koeficientem podobnosti \(k=1\) je shodné zobrazení.

Každé podobné zobrazení je prosté.

Obdobně jako u shodného zobrazení v každém podobném zobrazení s koeficientem podobnosti \(k\) platí:

  • Obrazem každé úsečky \(AB\) je úsečka \(A'B'\), pro kterou platí \(|A'B'|=k\cdot |AB|\).
  • Obrazem každé přímky \(AB\) je přímka \(A'B'\), obrazy rovnoběžných přímek jsou rovnoběžné přímky.
  • Obrazem každého úhlu \(AVB\) je úhel \(A'V'B'\) s ním shodný.

Podobné útvary

Definice

Podobné útvary jsou takové útvary, pro které existuje číslo \(k>0\) takové, že pro dvojici libovolných bodů \(A\), \(B\) jednoho útvaru a odpovídající dvojici bodů \(A'\), \(B'\) druhého útvaru platí \(|A'B'|=k\cdot|AB|\).

Číslo \(k\) v definici podobného útvaru je koeficientem podobnosti útvarů.

Například na následujícím obrázku jsou trojúhelníky \(ABC\) a \(A'B'C'\) podobné. Z obrázku je vidět, že odpovídající si úhly podobných trojúhelníků jsou shodné.

Obr. 4.0.1 - Podobné útvary

Pokud je zobrazení \(f\) podobné, pak je obrazem každého útvaru útvar s ním podobný.

Přímá a nepřímá podobnost

Přímou a nepřímou podobnost definujeme analogicky jako přímou a nepřímou shodnost.

Obr. 4.0.2 - Podobnosti

Dva útvary nazveme přímo podobné, jsou-li podobné, kde jejich vrcholy jsou značeny v abecedním pořadí proti směru hodinových ručiček (obr 4.0.2 - deltoidy \(A_1B_1C_1D_1\) a \(A_3B_3C_3D_3\)). V opačném případě nazveme útvary nepřímo podobné (obr 4.0.2 - deltoidy \(A_1B_1C_1D_1\) a \(A_2B_2C_2D_2\)).

Definice

Přímá podobnost je každá podobnost, ve které jsou libovolný trojúhelník a jeho obraz přímo podobné.

Nepřímá podobnost je každá podobnost, ve které jsou libovolný trojúhelník a jeho obraz nepřímo podobné.

Podobnostmi, které jsou shodnostmi, jsme se již zabývali v předchozí kapitole. V této kapitole se dále budeme zabývat stejnolehlostmi.