\begin{align}
\end{align}
Důkazy pravidel derivování III
V této podkapilole dokážeme pravidla pro derivování následujících elementárních funkcí:
- \(y = x^{-1}\);
- \(y = x^n\), kde \(n \in \mathbb Z^{-}\);
- \(y = {\rm tg}\: x\);
- \(y = {\rm cotg}\: x\).
Dále dokážeme pravidlo pro derivaci „převrácené“ funkce \(v\) a pravidlo pro derivaci podílu dvou funkcí \(u\) a \(v\):
- \(y = \Large\frac{1}{v(x)}\);
- \(y = \Large\frac{u(x)}{v(x)}\).
Pro funkci \(f : y = x^{-1}\), \(x \neq 0\), platí \(y^{\prime} = -x^{-2}\).
Důkaz
Víme, že
\(y^{\prime}\normalsize\; = \; \Large\lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{(x+\Delta x)^{-1} - x^{-1}}{\Delta x}\normalsize\; = \; \Large\lim\limits_{\Delta x \to 0} [ \frac{1}{\Delta x}\cdot (\frac{1}{x+\Delta x} - \frac{1}{x})]\).
Limitu dále přepíšeme na
\(\Large\lim\limits_{\Delta x \to 0} [ \frac{1}{\Delta x}\cdot \frac{x - ( x + \Delta x)}{(x+\Delta x)x} ] \normalsize\; = \; \Large\lim\limits_{\Delta x \to 0} [ \frac{1}{\Delta x}\cdot \frac{-\Delta x}{(x+\Delta x)x} ] \normalsize\; = \; \Large\lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{-1}{(x+\Delta x)x} \normalsize \; =\)
\(= \; \Large -\frac{1}{x^2} \normalsize \; = \; -x^{-2}\)
Jestliže existuje \(v^{\prime}(x)\) a \(v(x) \neq 0\), pak: \(\Large[\frac{1}{v(x)}]^{\prime}\normalsize \; = \; \Large \frac{-v^{\prime}(x)}{v^2(x)}\).
Důkaz
Při důkazu se využije pravidlo pro derivaci složené funkce.
Označme \(u(x) \; = \; x^{-1}\).
Víme, že
\(\Large[\frac{1}{v(x)}]^{\prime}\normalsize \; = \; [u(v(x))]^{\prime}\).
Platí, že \(u^{\prime}(x) \; = \; -x^{-2}\). Využijeme pravidlo pro derivaci složené funkce a dostaneme
\([u(v(x))]^{\prime} \; = \; u^{\prime}(v(x))\cdot v^{\prime}(x) \; = \; -[v(x)]^{-2}\cdot v^{\prime}(x) \; = \; \Large \frac{-v^{\prime}(x)}{v^2(x)}\)
Pro funkci \(f : y = x^n\), \(x \neq 0\), \(n \in \mathbb Z^{-}\), platí \(y^{\prime} = n x^{n-1}\).
Důkaz
Při důkazu se využije pravidlo pro derivaci „převrácené“ funkce.
Víme, že
\(y^{\prime} \; = \; (x^n)^{\prime} \; = \; \Large[\frac{1}{x^{-n}}]^{\prime}\).
Číslo \(-n\) je přirozené, takže \(x^{-n}\) umíme již derivovat.
Využijeme pravidlo pro derivaci „převrácené“ funkce a dostaneme
\(\Large[\frac{1}{x^{-n}}]^{\prime} \normalsize \; = \; \Large\frac{-(x^{-n})^{\prime}}{(x^{-n})^2}\normalsize \; = \; \Large\frac{-(-nx^{-n-1})}{x^{-2n}} \normalsize \; = \; nx^{-n-1} \cdot x^{2n} \; = \; nx^{-n-1+2n} \; = \; nx^{n-1}\)
Jestliže existují \(u^{\prime}(x)\), \(v^{\prime}(x)\) a \(v(x) \neq 0\), pak: \(\Large[\frac{u(x)}{v(x)}]^{\prime}\normalsize \; = \; \Large \frac{u^{\prime}(x)v(x)-u(x)v^{\prime}(x)}{v^2(x)}\).
Důkaz
Při důkazu se využije pravidlo pro derivaci součinu dvou funkcí.
Označme \(w(x) \; = \; \Large\frac{1}{v(x)}\).
Víme, že
\(\Large[\frac{u(x)}{v(x)}]^{\prime}\normalsize \; = \; [u(x)w(x)]^{\prime}\).
Využijeme pravidlo pro derivaci součinu dvou funkcí a dostaneme
\([u(x)w(x)]^{\prime} \; = \; u^{\prime}(x)w(x)+u(x)w^{\prime}(x) \; = \; \Large\frac{u^{\prime}(x)}{v(x)} \normalsize + u(x)\Large[\frac{1}{v(x)}]^{\prime}\normalsize \; = \)
\(= \; \Large\frac{u^{\prime}(x)}{v(x)} \normalsize + u(x)\Large\frac{-v^{\prime}(x)}{v^2(x)} \normalsize \; = \; \Large\frac{u^{\prime}(x)v(x)-u(x)v^{\prime}(x)}{v^2(x)}\)
Pro funkci \(f : y = {\rm tg}\: x\), \(x \neq \Large\frac{\pi}{2}\normalsize + k\pi\), \(k \in \mathbb Z\), platí \(y^{\prime} = \Large\frac{1}{\cos^2{x}}\).
Důkaz
Při důkazu se využije pravidlo pro derivaci podílu dvou funkcí.
Víme, že
\(y^{\prime} \; = \; {\rm tg}^{\prime}\: x \; = \; {\Large [\frac{\sin{x}}{\cos{x}}]^{\prime}}\).
Využijeme pravidlo pro derivaci podílu dvou funkcí, a dostaneme
\({\Large [\frac{\sin{x}}{\cos{x}}]^{\prime}} \; = \; \Large\frac{(\sin{x})^{\prime}\cos{x} - \sin{x}(\cos{x})^{\prime}}{\cos^2{x}}\normalsize \; = \; \Large\frac{\cos{x}\cos{x} - \sin{x}\:(-\sin{x})}{\cos^2{x}}\normalsize \; =\)
\(= \; \Large\frac{\cos^2{x} + \sin^2{x}}{\cos^2{x}}\normalsize \; = \; \Large\frac{1}{\cos^2{x}}\)
Pro funkci \(f : y = {\rm cotg}\: x\), \(x \neq k\pi\), \(k \in \mathbb Z\), platí \(y^{\prime} = \Large\frac{-1}{\sin^2{x}}\).
Důkaz
Při důkazu se využije pravidlo pro derivaci podílu dvou funkcí.
Víme, že
\(y^{\prime} \; = \; {\rm cotg}^{\prime}\: x \; = \; {\Large [\frac{\cos{x}}{\sin{x}}]^{\prime}}\).
Využijeme pravidlo pro derivaci podílu dvou funkcí, a dostaneme
\({\Large [\frac{\cos{x}}{\sin{x}}]^{\prime}} \; = \; \Large\frac{(\cos{x})^{\prime}\sin{x} - \cos{x}(\sin{x})^{\prime}}{\sin^2{x}}\normalsize \; = \; \Large\frac{-\sin{x}\sin{x} - \cos{x}\cos{x}}{\sin^2{x}}\normalsize \; =\)
\(= \; \Large\frac{-\sin^2{x} - \cos^2{x}}{\sin^2{x}}\normalsize \; = \; \Large\frac{-1}{\sin^2{x}}\)