Optimalizace - úvod
Nechť je dán problém, pro který existují různá přípustná řešení. Množinu řešení označíme jako \(I\). Jednotlivá řešení z množiny \(I\) ohodnocujeme pomocí funkce \(f\), kterou nazýváme cílová nebo také účelová funkce. Optimalizační problém je problém nalezení nejlepšího ze všech přípustných řešení. Hledáme \(x \in I\), aby \(f(x)\) bylo maximální, případně minimální. Podle toho hovoříme o maximalizačním nebo minimalizačním problému.
V příkladech optimalizace uvedených na tomto webu nalézáme cílovou funkci a stanovujeme její definiční obor tak, aby tvořil množinu všech přípustných řešení. Pak hledáme globální maximum nebo minimum. Teorie, o kterou se přitom opíráme, je uvedena k kapitole Monotónnost a extrémy.
V této kapitole je samostatně uvedeno deset příkladů s řešením optimalizačních problémů a aplety. Jedná se o následující příklady:
- Př. 1: Cesta na staveniště
- Př. 2: Oplocení
- Př. 3: Rovnoběžník vepsaný do obdélníku
- Př. 4: Rovnoramenný trojúhelník
- Př. 5: Stavba bazénu
- Př. 6: Trojúhelník pod parabolou
- Př. 7: Vitráž
- Př. 8: Vzdálenost dvou bodů na dvou křivkách
- Př. 9: Vzdálenost dvou pohybujících se osob
- Př. 10: Vzdálenost pevného bodu a bodu na křivce
V zadání některých příkladů se objevují fyzikální a měnové veličiny, např. délka, čas, cena. V zadání a ve výsledku jsou uvedeny jejich jednotky. Z důvodu přehlednosti však nejsou jednotky uváděny v průběhu řešení.
Aplety v příkladech někdy nefungují správně při prvním načtení stránky. Při pohybování posuvníkem v levé části apletu se nepohybuje bod po křivce v pravé části apletu, ač by se pohybovat měl. Zpravidla pomůže nové načtení stránky (reload).
Ilustrace
Pro jaká nezáporná reálná čísla \(a\) a \(b\), která vyhovují podmínce \(a + b = 6\), je jejich součin maximální a jaká je hodnota tohoto součinu?
Řešení
1. Nejdříve identifikujeme proměnnou, jejíž extrém budeme hledat, a typ extrému (maximum nebo minimum).
Maximalizujeme součin. Označme tuto proměnnou písmenem \(s\) (jako součin).
\(s = a \cdot b.\)
2. Ze vztahů mezi proměnnými docílíme jejich redukce tak, aby proměnná, jejíž extrém hledáme, závisela jen na jedné nezávislé proměnné.
Platí \(a + b = 6\). Proto \(b = 6 - a\). Tedy
\(s = a \cdot (6 - a).\)
3. Dále určíme definiční obor nezávislé proměnné \(a\), na níž závisí proměnná \(s\), jejíž extrém hledáme.
Podle zadání číslo \(a\) je nezáporné, tedy \(a \geq 0\). Také \(b\) je nezáporné, tedy \(b \geq 0\). Platí \(b = 6 - a\), proto \(6 - a \geq 0\), tedy \(6 \geq a\).
Z obou nerovností vyplývá, že definiční obor proměnné \(a\) je
\(a \in \langle 0, 6 \rangle .\)
4. Nyní přepíšeme vztah \(s = a \cdot (6 - a)\) pro \(a \in \langle 0, 6 \rangle\) do tvaru funkčního předpisu. Proměnnou \(a\) nahradíme proměnnou \(x\) a místo proměnné \(s\) napíšeme \(f(x)\). Z definičního oboru proměnné \(a\) stanovíme definiční obor funkce \(f.\)
\(f(x) = x \cdot (6 - x)\) s definičním oborem \(D(f) = \langle 0, 6 \rangle.\)
5. Najdeme hledaný extrém.
Hledáme globální maximum. Funkce \(f\) ho má na svém definičním oboru v bodě \(x = 3.\)
6. Zapíšeme řešení.
Součin \(a \cdot b\) je maximální pro \(a = b = 3\) (\(a = x = 3\) a \(b = 6 - a\)). Hodnota součinu je 9.
Odkazy na příklady
