[MA pro F, 1. ročník, LS 2003/2004, M.Rokyta]

Sylabus přednášky MAF041
a požadavky ke zkoušce

---

Následující stránka slouží jednak jako přehled toho, co se dělo na přednášce v tomto semestru (sylabus), jednak jako soupis požadavků k teoretické části zkoušky. K tomu tyto vysvětlivky:

Podtržený text	Téma se může vyskytnout v písemce nebo se na ně mohu zeptat u ústní zkoušky. Obecně je potřeba umět definovat (a vysvětlit) všechny pojmy a znát znění všech vět.
(bez D.)	Takové tvrzení nemusíte umět dokázat.
(D.)	Důkaz takového tvrzení je potřeba umět.

Podrobněji o zkouškách čtěte na stránce tomuto tématu vyhrazené.

---

0. Aplikace určitého integrálu
(Literatura: Kopáček, 1. díl)

• Opakování Riemannova integrálu, horní a dolní integrál, Riemannovské součty.
• Riemannovské součty vyššího řádu, věta o konvergenci Riemannovských součtů k R-integrálu (bez D).
• Aplikace: výpočet obsahu plochy, povrchu rotační plochy, objemu rotačního tělesa, délky křivky, obsahu v polárních souřadnicích.
• Hmota, momenty, těžiště.

1. Funkce více proměnných
(Literatura: Kopáček, 2. díl)

• 1.1. Úvodní poznámky, vzdálenost, metrika, konvergencet
  • Metrika v Rⁿ: tři různé případy (eukleidovská, maximová, absolutní). Okolí bodu.
  • Norma v Rⁿ, konvergence v Rⁿ je "po složkách" (D.), pojem konvergence nezávisí na žádné ze tří zvolených metrik.
  • Pojem cauchyovskosti v metrice, cauchyovskost je v Rⁿ ekvivalentní konvergenci (D.)
• 1.2. Limita a spojitost
  • Limita a spojitost - definice, vztah spojitosti v bodě a limity v bodě.
  • Heineho věta pro spojitost i pro limitu.
  • Spojitost a limita po směrech, po křivkách, atd. srovnání s Heineho větou.
• 1.3. Parciální derivace a totální diferenciál
  • Parciální derivace, derivace ve směru, gradient.
  • Definice totálního diferenciálu, existence diferenciálu, vztah k parciálním derivacím, derivacím ve směru a spojitosti. (D.)
  • Spojitost parciálních derivací implikuje existenci tot. dif. (bez D.), operace s tot. dif.
• 1.4. Diferenciální rovnice ve tvaru totálního diferenciálu.
  • Vyšší parciální derivace a jejich záměnnost (bez D.).
  • Exaktní diferenciální rovnice, potenciál vektorového pole.
  • Integrační faktor a jeho nalezení ve speciálních případech.
• 1.5. Složené derivování, záměna proměnných
  • Tot. dif. složeného zobrazení (D.), složené derivování, záměna proměnných.
  • Věta o střední hodnotě pro víc proměnných. (D.)
• 1.6. Taylorův vzorec, vyšší diferenciály
  • Taylorův vzorec pro víc proměnných. (D.)
  • Druhý totální diferenciál, vyšší totální diferenciály.
• 1.7. Extrémy funkcí více proměnných
  • Lokální extrémy, sedlové body.
  • Nutná podmínka existence extrému.
  • Pozitivní a negativní [semi]definitnost, indefinitnost kvadratické formy dané druhým diferenciálem, souvislost s maticí druhých derivací. Příklady.
  • Vlastnosti druhého diferenciálu ve stacionárním bodě implikují typ lokálního extrému. (D.)
  • Různá kritéria definitnosti matic.
• 1.8. Implicitní funkce a vázané extrémy
  • Věta o implicitních funkcích pro dvě dimenze. (Bez D.)
  • Pojem vázaného extrému (exrému vzhledem k množině).
  • Věta o Lagrangeových multiplikátorech pro dvě dimenze a jednu vazbu (D.)
  • Lagrangeovy multiplikátory pro víc dimenzí a vazeb. (Bez D.)

2. Metrické prostory
(Literatura: Kopáček, 2. díl)

• 2.1. Základní příklady a pojmy
  • Metrika a metrický prostor. Prostor všech spojitých funkcí na [a,b] s maximovou metrikou. Norma, obecné normované prostory, vztah mezi normovaným a metrickým prostorem.
  • Otevřená množina a okolí bodu. Vlastnosti systému otevřených množin.
  • Uzavřená množina, vlastnosti systému uzavřených množin, uzávěr, vnitřek, hranice.
• 2.2. Konvergence, úplnost, kompaktnost, separabilita
  • Konvergence, limita, cauchyovskost, úplnost. Banachův a Hilbertův prostor.
  • Charakterizace uzavřených množin pomocí posloupností. (D.)
  • Vztah úplnosti a uzavřenosti.
  • Kompaktní množiny v metrickém prostoru a v Rⁿ, konečná pokrytí kompaktu. (bez D.)
  • Vztah kompaktnosti a uzavřenosti, kompaktnosti a omezenosti (bez D.), kompaktnosti a úplnosti.
  • Separabilita, spočetná pokrytí otevřené množiny.
• 2.3. Spojitost a stejnoměrná spojitost
  • Spojitost a stejnoměrná spojitost v metrickém prostoru. Heineho věta (na známku 1 s důkazem.)
  • Ekvivalentní charakterizace spojitosti pomocí uzavřených a otevřených množin. (bez D.)
  • Spojitým obrazem kompaktu je kompakt, a dva důsledky: je omezená, nabývá max a min. (vše s D.)
  • Spojitá funkce na kompaktu je stejnoměrně spojitá (bez D.).
  • Kontraktivní zobrazení. Kontrakce je vždy spojitá.
  • Banachova věta o pevném bodu. (D.)
  • Věta o řešení ODR. (na známku 1: hlavní myšlenku důkazu)

---