Prednaska z matematiky pro fyziky

[MA pro F, 1. ročník, ZS 2004/2005, M.Rokyta]

Sylabus přednášky MAF033

Místo a čas konání: Pondělí, 10:40, T1 Středa, 14:00, T2

Text na této stránce zachycuje skutečný stav toho, co se odpřednášelo. Přesnější požadavky k teoretické části zkoušky a seznam doporučené literatury naleznete na stránce k tomu určené. Obecné povídání o zkouškách a požadavky k početní části zkoušky jsou zde.

0. Úvodní poznámky

Množiny a výroky, kvantifikátory - opakování značení. Co je definice, věta, důkaz. Důkaz přímý, nepřímý, sporem.

1. Čísla a zobrazení

1.1. Axiomatické zavedení reálných čísel
Různé možnosti, jak se dopracovat k reálným číslům: jejich zavedení z čísel racionálních, nebo axiomatické zavedení. Axiomatika reálných čísel, axiomy (komutativní) grupy, tělesa. Axiomy uspořádání. Induktivní množina. Čísla přirozená: N. Prvočísla. Základní věta aritmetiky. Prvočísel je nekonečně mnoho. Čísla celá: Z. Čísla racionální: Q. Odmocnina ze dvou není racionální - důkaz sporem. Odmocniny přirozených čísel jsou buď celé nebo už nejsou racionální.

1.2. Axiom o supremu
Množina omezená. Supremum a infimum. Axiom o supremu. Doplnění definic suprema a infima pro prázdnou a neomezené množiny. Absolutní hodnota, trojúhelníková nerovnost. Kartézský součin a Rⁿ, Cauchy-Schwarzova nerovnost. Komplexní čísla C a proč nejdou uspořádat.

1.3. Zobrazení a spočetnost
Zobrazení, definiční obor, obor hodnot. Prosté zobrazení (injekce), zobrazení "na" (surjekce), vzájemně jednoznačné zobrazení (bijekce). Inverzní zobrazení, zúžené zobrazení. Složené zobrazení. Funkce jako zobrazení. Spočetnost a nespočetnost. N, Z, Q jsou spočetné, R, C jsou nespočetné. Cantorova diagonální metoda důkazu nespočetnosti intervalu (0,1).

2. Limita a spojitost funkcí reálné proměnné

2.1. Základní vlastnosti reálných funkcí
Funkce rostoucí, klesající, nerostoucí, neklesající. Funkce lichá a suchá, periodická.

2.2. Vlastní limita ve vlastním bodě
Okolí bodu v R a C. Redukované (prstencové) okolí. Definice vlastní limity ve vlastním bodě pomocí epsilonů a delt. Souvislost limity a funkční hodnoty. Jednostranné limity. Jednoznačnost limity. Souvislost obou jednostranných limit s limitou. Lokální omezenost funkce, mající vlastní limitu. Funkce mající nenulovou limitu je v absolutní hodnotě lokálně odražená od nuly. Limity součtu, rozdílu, součinu, podílu. Limita součinu funkce omezené a funkce, mající nulovou limitu. Limita funkce a limita její absolutní hodnoty. Věta "o policajtech".

2.3. Spojitost funkce v bodě
Spojitost funkce v bodě a na intervalu. Souvislost s vlastní limitou. Spojitost součtu, součinu, podílu funkcí. Jednostranná spojitost. Limita složené funkce, spojitost složené funkce. Základní limity pro funkce sin, exp, ln, cos s příklady použití.

2.4. Rozšíření R, C, nevlastní limity
Rozšíření R na R^*, C na C^*. Nevlastní nekonečné body, aritmetika s nekonečny, neurčité výrazy v součtu, součinu a podílu. Nevlastní limita ve vlastním bodě. Aritmetika limit (včetně nevlastních limit). Neurčité výrazy v obecné mocnině. Příklady.

Dne 10.11.2004 jsme psali první písemku (na limity). Zde je vyřešená: ps file, pdf file.
3. Derivace

3.1. Základní vlastnosti derivace
Definice derivace limitou. Derivace reálné funkce (vlastní i nevlastní) a komplexní funkce (jen vlastní). Jednostranné derivace. Geometrická a fyzikální interpretace derivace. Existence vlastní derivace implikuje spojitost. Derivace součtu, rozdílu, součinu, podílu. Derivace součinu n funkcí. Derivace inverzní funkce. Derivace složené funkce, derivace vícenásobného složení funkcí. Příklady. Vyšší derivace. Parciální derivace.

3.2. Elementární funkce
Zavedení exponenciely a logaritmu. Zavedení obecné mocniny. Hyperbolické a k nim inverzní (= hyperbolometrické) funkce. Goniometrické a k nim inverzní (= cyklometrické) funkce. Tabulka základních vztahů goniometrických a hyperbolických funkcí. Derivace elementárních funkcí: Tabulka základních derivací.

3.3. Lineární ODR 2. řádu s konstantními koeficienty
Diferenciální rovnice a jejich klasifikace: obyčejné a parciální, lineární a nelinerní, lineární homogenní a nehomogenní. Řád rovnice. Množina všech řešení lineární homogenní ODR je vektorový prostor dimenze n, jeho báze se nazývá fundamentální systém rovnice. Nalezení F.S. a obecného řešení homogenní lineární ODR 2. řádu v závislosti na kořenech tzv. charakteristického polynomu rovnice: případ dvou různých reálných kořenů. Případ dvojného kořene, případ komplexních kořenů. Vztah mezi komplexní exponencielou a goniometrickými funkcemi. Partikulární řešení nehomogenní rovnice pro pravou stranu ve speciálním tvaru. Nalezení obecného řešení nehomogenní rovnice, nalezení (jediného) řešení splňujícího navíc okrajové podmínky.

4. Primitivní funkce

4.1. Definice a základni vlastnosti
Definice primitivní funkce na otevřeném intervalu, na sjednocení takových. Tabulka základních primitivních funkcí. Dvě primitivní funkce k téže funkci se na otevřeném intervalu liší o konstantu. Rovnost "až na konstanty". Spojitá funkce na otevřeném intervalu má primitivní. Primitivní funkce na otevřeném intervalu je spojitá. Integrál součtu, rozdílu, násobku. Per partes. Pojem diferenciálu a diferencování. Dvě věty o substituci.

4.2. Integrace racionálních funkcí, speciální substituce
Racionální funkce (podíl dvou polynomů), rozklad racionální funkce na parciální zlomky (metoda porovnávání koeficientů, metoda dosazovací), integrace parciálních zlomků (postupné úpravy, ansatz typu Ostrogradskij). Speciální substituce: exponenciální, logaritmické, lineární lomená pod odmocninou, Eulerovy, goniometrické, Čebyševovy. Příklady.

5. Více o limitách funkcí a o posloupnostech

5.1. Limity funkcí v nevlastních bodech, posloupnosti
Limita v nevlastním bodě, vlastní a nevlastní. Jednotný zápis definice. Limita v plus nekonečnu funkce f(x) je stejná jako limita v 0+ funkce f(1/x).Pojem posloupnosti: speciální případ zobrazení z N do R (C). Aritmetika limit posloupností. Věta o limitě f(x) pro x jdoucí do nekonečna a limitě a_n=f(n) pro n jdoucí do nekonečna. Limity monotónních funkcí a posloupností. Nerovnosti v limitách.

5.2. Podposloupnost, Bolzano-Weierstrassova věta
Pojem podposloupnosti (vybrané posloupnosti), B-W věta: z každé posloupnosti reálných čísel lze vybrat podposloupnost, která má limitu. Pojem hromadného bodu, lim inf, lim sup, každá posloupnost má hromadný bod. Posloupnost má limitu právě tehndy, když množina hromadných bodů je jednobodová, a to nastane právě tehdy, když lim inf a_n=lim sup a_n.

5.3. L'Hospitalovo pravidlo, malé o, velké O, Taylorův polynom
L'Hospitalovo pravidlo pro typ "0/0" a typ "cokoli/nekonečno". Funkce nekonečně malá a nekonečně veká v bodě. Symboly malé o a velké O. Limity posloupností typu a_n/b_n, kde a_n i b_n jdou do nekonečna (tzv. růstové limity). Lemma: lim a_{n+1}/a_n >1 implikuje lim a_n = nekonečno, lim a_{n+1}/a_n < 1 implikuje lim a_n = 0. Chování funkce v bodě, studium pomocí malého o, Taylorův polynom, Taylorova věta o existenci a tvaru Taylorova polynomu (s Peanovým tvarem zbytku), použití k výpočtu limit. Aritmetika malých o, Taylorovy polynomy základních funkcí, zobecněná binomická věta, příklady na pokročilejší výpočty.

5.4. Heineho věta
Heineho věta o limitě, Heineho věta o spojitosti, použití.

Dne 15.12.2004 jsme psali druhou písemku (na integraci). Zde je vyřešená: ps file, pdf file.
6. Hlubší vlastnosti spojitých a diferencovatelných funkcí

6.1. Lokální a globální extrémy, třída C([a,b])
Třídy funkcí C^k([a,b]). Definice lokálního a globálního extrému. Funkce rostoucí a klesající v bodě. Věta: má-li funkce v bodě kladnou derivaci, roste v tomto bodě, podobně pro zápornou derivaci. Věta: má-li funkce v bodě lokální extrém a má v tom bodě derivaci, je tato nulová. Věty (důležité) o C([a,b]): je-li f spojitá na uzavřeném intervalu, nabývá na něm svého maxima i minima (a jsou to reálná císla); dále je taková funkce omezená; dále taková funkce nabývá všech mezihodnot (též: je darbouxovská [čti darbúovská], má Darbouxovu vlastnost). Důsledek: spojitý obraz intervalu je interval nebo bod.

6.2. Věty o střední hodnotě a důsledky
Rolleova věta. Důsledek: pokud existuje vlastní nenulová derivace funkce f na intervalu (a,b), je f prostá na (a,b). Lagrangeova věta o střední hodnotě. Důsledek: souvislost monotonie funkce na intervalu se znaménkem derivace na tomto intervalu. Cauchyova věta o střední hodnotě. Důsledky: L'Hostpitalovo pravidlo, věta o limitě derivací. Věty o Taylorově polynomu: Lagrangeův tvar zbytku, Peanův tvar zbytku.

6.3. Konvexita, konkávita, inflexe
(Ryzí) konvexita a (ryzí) konkávita na intervalu. Souvislost se znaménkem druhé derivace. Konvexita a konkávita v bodě, inflexní bod, souvislost s druhou derivací. Rozhodování mezi lokálním extrémem a inflexním bodem v bodě, kde je první derivace nulová (pomocí vyšších derivací). Asymptoty funkce v nekonečnu. Obecné poznámky při vyšetřování průběhu funkce.

7. Riemannův a Newtonův určitý integrál

7.1. Definice a základní vlastnosti Newtonova a Riemannova integrálu
Primitivní funkce až na konečný počet bodů. Zobecněný přírůstek funkce F na intervalu (a,b) definovaný jako [F]_a^b = F(b-)-F(a+). Definice Newtonova integrálu. Dělení omezeného uzavřeného intervalu, norma dělení, horní a dolní Riemannův součet. Historické poznámky. Vlastnosti horního a dolního součtu při zjemňování dělení. Definice horního a dolního Riemannova integrálu. Riemannovsky integrovatelné funkce a Riemannův integrál. Věta o existenci limit součtů přes posloupnost dělení. Riemannovské součty a jejich limita. Vztah této limity k R-integrálu. Vztah mezi R-integrálem a N-integrálem. B-C podmínka pro existenci R-integrálu. Monotónní funkce má R-integrál. Spojitost a stejnoměrná spojitost na množině. Spojitá funkce na uzavřeném intervalu je stejnoměrně spojitá (bez důkazu). Spojitá funkce na uzavřeném intervalu má Riemannův integrál. Základní vlastnosti R-integrálu: integrál součtu, rozdílu a násobku konstantou, integrál z absolutní hodnoty a příslušná nerovnost, integrál na podintervalu, aditivita integrálu vůči intervalu. Dodefinování integrálu pro interval nulové délky a pro obráceně uspořádané meze.

7.2. Integrál s proměnnou horní mezí
Integrál s proměnnou horní mezí; funkce F definovaná tímto integrálem je vždy spojitá, a v bodech spojitosti f platí F'(x)=f(x). Důsledek: spojitá funkce má primitivní funkci. Souvislost s Newton-Leibnizovou formulí pro výpočet integrálu pomocí primitivní funkce.

7.3. Per partes, substituce a věty o střední hodnotě integrálního počtu
Bez důkazů: per partes, dvě věty o substituci, dvě věty o střední hodnotě integrálního počtu.