Prednaska z matematiky pro fyziky

[MA pro F, 2. ročník, ZS 2005/2006, M.Rokyta]

Sylabus přednášky MAF042

Místo a čas konání: Úterý, 9:00, T1

Text na této stránce zachycuje skutečný stav toho, co se odpřednášelo. Přesnější požadavky k teoretické části zkoušky naleznete na stránce k tomu určené.

1. Křivkový integrál

1.1. Křivky v Rⁿ

C¹ a po částech C¹ křivka, jednoduchá křivka, uzavřená křivka, jednoduchá uzavřená křivka. Tečný a normálový vektor, binormála. opačná křivka, součet křivek.

1.2. Křivkový integrál 1. a 2. druhu

Definice, interpretace. Souvislost obou integrálů, integrály přes opačnou křivku. Nezávislost na parametrizaci.

1.3. Křivkový integrál a potenciál

Potenciál vektorového pole. Výpočet integrálu druhého druhu pomocí potenciálu. Souvislost s nezávislostí integrálu na cestě. Nulová rotace a souvislost s existencí potenciálu. Závislost tohoto na oblasti. Věta o existenci potenciálu, pokud integrál nezávisí na cestě. Ekvivalentní tvrzení pro existenci potenciálu.

2. Plošný integrál

2.1. Zadání plochy a integrál 1. druhu

Jednoduchá k-plocha v dimenzi n. Zobecněná k-plocha v dimenzi n. Parametrizace, lineární nezávislost tečných vektorů plyne z požadavku nedegenerování dimenze (hodnost matice derivací parametrizace je maximální možná). 2-plocha v dimenzi 3 a její normálový vektor. Plošný integrál 1. druhu a jeho interpretace. Povrchy ploch, příklad: povrch toru. (Bonus: obecný popis rotačních ploch.)

2.2. Orientace plochy a integrál 2. druhu
Orientovaná plocha, spojité pole jednotkových normál. Orientace plochy předem danými normálami, orientace plochy parametrizací. Souhlasnost (kladnost) těchto dvou parametrizací. Plošný integrál 2. druhu. Souvislost mezi integrálem 1. a 2. druhu.

2.3. Grammův determinant, různá zadání plochy
Vyjádření metrického členu pomocí Grammova determinantu. Vektorový součin a Levi-Civita symbol. Různá zadání plochy: parametrické, explicitní, implicitní, tvary metrických členů při různých zadáních, tvary normálových vektorů. Převody mezi jednotlivými zadáními.

2.4. Gauss-Ostrogradského věta, Greenovy formule
Omezená oblast v R³ a její hranice - zobecněná 2-plocha. Vektor vnější jednotkové normály a potíže s jeho existencí. Gauss-Ostrogradského věta jako zobecnění Newton-Leibnizovy formule do více dimenzí. Věta o divergenci, integrace per partes, Greenovy formule. Interpretace divergence, definice divergence pro pouze spojitá vektorová pole. Užití Greenových formulí pro Dirichletovu a Neumannovu úlohu pro Laplace-Poissonovu rovnici.

2.5. Greenova a Stokesova věta
Gauss-Ostrogradského a Greenova věta v R², kladné obíhání oblasti po hranici, dvojný integrál z divergence a dvourozměrné rotace. Potenciál vektorového pole existuje právě tehdy, když je v oblasti nulová rotace vektorového pole: tato ekvivalence platí v R² jen na oblastech "bez děr". Kladná orientace okraje křivé plochy vůči této (orientované) ploše. Stokesova věta. Interpretace rotace, definice rotace pro pouze spojitá vektorová pole. Potenciál vektorového pole existuje právě tehdy, když je v oblasti nulová rotace vektorového pole: tato ekvivalence platí v R³ jen na oblastech, kde je každá uzavřená křivka okrajem nějaké plochy, která leží celá v oné oblasti.

2.6. Plošný integrál v dimenzi n (poznámky)
Zobecněný vektorový součin (n-1) vektrů v Rⁿ. Plošný integrál 1. a 2. druhu přes (n-1)-plochu v dimenzi n.

3. Integrace diferenciálních forem
V těchto skriptech V. Součka najdete většinu materiálu k diferenciálním formám (obsah je na konci)

3.1. Vnější algebry vektorového prostoru

Opakování: těleso, vektorový prostor nad tělesem skalárů. Definice algebry, přesněji algebry nad tělesem skalárů. Vnější algebra nad Rⁿ a její vlastnosti.

3.2. Diferenciální formy a jejich přenášení

Vektorový prostor T^*(Rⁿ) jako prostor s formální bazí (dx₁, dx₂, ... ,dx_n). Vnější algebra nad ním. Diferenciální forma jako hladké zobrazení z oblasti do této vnější algebry. Přenesení diferenciální formy pomocí hladkého zobrazení. Diferencování diferenciální formy (tzv. vnější diferenciál). Diferencování součtu a součinu dvou forem. d(dw)=0 pro každou diferenciální formu.

3.3. Integrace diferenciálních forem

Integrál z diferenciální formy řádu k přes k-rozměrnou "rovnou" otevřenou množinu jako formálně zapsaný Lebesgueův integrál. Integrál z diferenciální formy řádu k přes k-rozměrnou "křivou" otevřenou množinu S definovaný pomocí přenesení diferenciální formy. Diskuse základních případů: křivka v Rⁿ a dvourozměrná plocha v R³. Vždy jde o integrál 2. druhu. Různé parametrizace téže plochy a difeomorfismus mezi nimi. Souhlasně a nesouhlasně orientované parametrizace. Nezávislost na parametrizaci: integrál diferenciální plochy přes S nezávisí na parametrizacích, jsou-li shodně orientované. V opačném případě se liší o znaménko. Přípravné práce na zobecněnou Stokesovu větu: některé vlastnosti přenášení a diferencování forem.

3.4. Zobecněná Stokesova věta

Regulární plocha dimenze k v Rⁿ. Parametrizace regulární plochy pomocí intervalů v Rⁿ. Obecná hranice "křivé" plochy. Zobecněná Stokesova věta (=ZSV) a její důkaz. Diskuse jednotlivých případů:

pro n=2, k=1 se ZSV redukuje na Větu o potenciálu pro dvourozměrný křivkový integrál 2. druhu,
pro n=2, k=2 se ZSV redukuje na Greenovu větu,
pro n=3, k=1 se ZSV redukuje na Větu o potenciálu pro třírozměrný křivkový integrál 2. druhu,
pro n=3, k=2 se ZSV redukuje na klasickou Stokesovu větu,
pro n=3, k=3 se ZSV redukuje na Gauss-Ostrogradského větu.

4. Základy variačního počtu

4.1. Základní pojmy

Co je to funkcionál, co je Gateauxův diferenciál v bodě a směru, co je variace. Lokální extrém funkcionálu, Eulerova věta (pokud existuje variace v bodě lokálního extrému, je tato nulová). Příklad: nejkratší spojnice dvou bodů - nalezení bodu s nulovou variací. Dvě lemmata o nulovosti integrálu pro všechny testovací funkce a co z toho plyne.

4.2. Euler-Lagrangeovy rovnice
Klasická úloha variačního počtu. Lagrangián a funkcionál, který sestavuje. Prostor, kde hledáme řešení a prostor testovacích funkcí. Bod lokálního extrému funkcionálu, kritický bod funkcionálu, extremála funkcionálu (řešení E-L rovnic). E-L věta. Speciální tvary E-L rovnice při jednodušších tvarech Lagrangiánu. Beltramiho rovnice. Příklady: rotační plocha s nejmenším povrchem, brachistochrona.

4.3. Nutné a postačující podmínky existence extrémů (poznámky)
Lagrangeova věta - postačující podmínka lokálního extrému: v okolí kritického bodu funkcionálu je druhý diferenciál nezáporný. Jacobiho přístup, pomocná rovnice pro pomocnou funkci, která nesmí mít nulový bod uvnitř intervalu (a,b). Příklad: nejkratší spojnice dvou bodů - potvrzení, že jde o minimum.

5. Fourierovy řady

5.1. Trigonometrické řady
Trigonometrická řada: nekonečná řada sinů a kosinů. 2pi- a l-periodické funkce a trigonometrické řady. Lemma o kolmosti sinů a kosinů ve skalárním součinu prostoru L². Fourierovy koeficienty a Fourierova řada L¹ funkce - motivace tvaru koeficientů, definice. Speciální tvar koeficientů pro liché a sudé funkce. Fourierova řada funkce (Pi-x)/2. Po částech C¹ funkce. Věta o konvergenci Fourierovy řady pro po částech C¹, integrovatelné funkce, které mají jednostranné vlastní limity hodnot i derivací ve všech bodech. Fourierova řada funkce x² a součty některých zajímavých řad.

5.2. Konvergence Fourierových řad
Spojitost integrovatelných funkcí v průměru. Riemann-Lebesgueovo lemma a jeho důsledky. Riemannova věta o lokalizaci. Dirichletovo integrální jádro. Důkaz věty o konvergenci Fourierovy řady pro po částech C¹, integrovatelné funkce, které mají jednostranné vlastní limity hodnot i derivací ve všech bodech. Besselova nerovnost a Parsevalova rovnost pro L² funkce.

5.3. Derivování a integrování Fourierových řad
Věta o počtu bezproblémových derivování člen po členu v závislosti na konvergenčních vlastnostech řady koeficientů. Věta o tom, jak hladkost funkce ovlivní konvergenční vlastnosti řady koeficientů. Integrování Fourierovy řady člen po členu. Různé metody sčítání řad převrácených sudých mocnin přirozených čísel. Shrnutí.

5.4. Abstraktní Fourierovy řady
Hilbertův prostor, OG a ON množina v něm. Definice abstraktní Fourierovy řady, věta o tvaru koeficientů. Abstraktní Besselova nerovnost a Parsevalova rovnost, souvislost s úplností OG systému.

5.5. Různé ortogonální systémy, aplikace
Bude přednášeno i zkoušeno v letním semestru