PDR 1 - Klasická teorie (DIR044) - přednáška

ZS 2007/2008
M. Rokyta, KMA


Místo a čas konání přednášky: Úterý, 10:40, K11

Předběžný sylabus přednášky

1. Úvod

2. Věta Cauchyova-Kowalevské

3. Laplaceova a Poissonova rovnice

4. Evoluční rovnice

Literatura

K této přednášce (i k přednášce PDR 2) již nějaký čas vznikají skripta. Stav jejich rozpracovanosti včetně úryvků textu můžete sledovat na této stránce. Z další literatury doporučuji zejména skriptum John-Nečas a knihu Renardy-Rogers.
  1. E.DiBenedetto: Partial Differential Equations. Birkhauser, 1995.

  2. P.Doktor, O.John, J.Kopáček: Příklady z matematické analýzy VI, parciální diferenciální rovnice. Skriptum MFF UK, SPN, Praha, 1983.

  3. L.C.Evans: Partial differential equations. AMS, Providence, 1998.

  4. O.John, J.Nečas: Rovnice matematické fyziky. Skriptum MFF UK, SPN, Praha, 1977.

  5. M.Renardy, R.C.Rogers: An Introduction to Partial Differential Equations. Springer-Verlag, New York, 1993.

Zkouškové požadavky

Pro zkoušku 4.11. nevyžaduji znalost posledních dvou otázek.

Zkouška (obecně) probíhá takto: písemně (cca během 1 hodiny) vypracujete zadané teoretické otázky z níže uvedených okruhů. Poté budeme spolu diskutovat nad těmito vašimi přípravami, já budu klást doplňující otázky atd. Časově: po dopsání přípravy si vás budu zvát na tuto diskusi, řekněme tak vždy dva na 15 minut - koho kdy dohodneme po napsání přípravy. Pokud bude někdo spěchat, lze tuto "diskusi" učinit po dohodě jindy.

Během doby, kdy přihlášení jedinci píšou své přípravy (tj. v první hodině konání zkoušky) mohu řešit s ostatními příchozími další problémy - příklady na zápočty, jejich udělování atd.

Zkouškové okruhy:
  1. Cauchyova úloha pro kvazilineární PDR 1. řádu: def. klasického řešení Cauchyova problému, definice charakteristiky. Metoda charakteristik pro nulovou pravou stranu - formulujte příslušná lemmata, ukažte na jednoduchém příkladě. Lemma o nenulové pravé straně.
  2. Věta Cauchyova-Kowalevské: definice reálně analytické funkce, formulace věty C-K, důkaz metodou majorizace - ukažte hlavní kroky důkazu. Lewyho protipříklad. Diskutujte zobecnění C-K věty pro závislost koeficientů na čase, resp. pro nenulové poč. podmínky. Ilustrujte na příkladě možná zobecnění C-K věty pro rovnice vyššího řádu, eventuelně pro zcela obecné PDR.
  3. Definujte charakteristický směr a plochu pro lineární rovnici k-tého řádu (ukažte, čím je tato definice motivovaná).
  4. Definujte eliptickou, hyperbolickou, parabolickou rovnici druhého řádu (v bodě), uveďte typické představitele (Poissonova, vlnová, vedení tepla - bez odvozování těchto rovnic), ukažte, jak se převádí rovnice 2. řádu na kanonický tvar.
  5. Definujte harmonickou funkci. Odvoďte větu o třech potenciálech v dimenzi 3 (na známku 1 i v dimenzi 2) a ukažte, jak z ní plyne nekonečná diferencovatelnost harmonické funkce.
  6. Dokažte větu o Poissonově integrálu (řešení Dirichletovy úlohy na kouli) (eventuelně diskutujte myšlenku odvození přes kulovou inverzi).
  7. Dokažte větu o průměru a obrácenou větu o průměru pro harmonické funkce.
  8. Dokažte slabý a silný princip maxima pro eliptické rovnice. Jednoznačnost řešení Dirichletovy úlohy jako důsledek.
  9. Dokažte větu Liouvilleovu, zformulujte věty Harnackovy.
  10. Konstrukce řešení Dirichletovy úlohy na omezené oblasti Perronovou metodou: uveďte bez důkazů hlavní body a myšlenku konstrukce, podrobněji vysvětlete nabývání hraniční podmínky, zejména pojem a úlohu bariéry.
  11. Formulujte větu o řešení Cauchovy úlohy pro rovnici vedení tepla. Dokažte slabý princip maxima pro rovnici vedení tepla - omezená (dokázat) a neomezená (formulovat, diskutovat) oblast.
  12. Dokažte větu o jednoznačnosti pro vlnovou rovnici, napište její řešení (bez důkazů) v prostorech různé dimenze.

back