David Stanovský    //

PROSEMINÁŘ Z ALGEBRY 2024/25

Cílem Prosemináře z algebry (NMAG261) je ukázat, jak se probíraná teorie využije při řešení poblémů z jiných oblastí. Proseminář bude obsahovat různá témata prohlubující a doplňující probíranou látku, teorii i aplikace. Proseminář je doporučen souběžně s úvodním kurzem Algebry (NMAG206) pro 2. ročník jak studentům, kteří se v dalším studiu setkají s algebrou (tj. zejména studenti programů Mat. struktury a Mat. pro IT), tak těm studentům, kteří zatím váhají s výběrem svého oboru.

Stručný program:
Vysvětlíme si motivaci a základní principy několika navazujících disciplín (algebraická geometrie, algebraická topologie, algebraická teorie čísel), ukážeme si vybrané aplikace (samoopravné kódy, šifry, design experimentů), doplníme příklady k přednášce (volné grupy, grupy na eliptických křivkách, vzorce na řešení polynomiálních rovnic), ke konci možná využijeme čas na doplnění některých aspektů Galoisovy teorie, které se nestihnou na přednášce. V průběhu semestru shlédneme videopřednášku Kena Ribeta (Uni. of California, Berkeley), jednoho ze spolutvůrců důkazu velké Fermatovy věty. Mezi tématy budou:

• samoopravné kódy
• aplikace konečných těles v kombinatorice, statistice, kryptografii
• diskrétní logaritmus a kryptografie
• úvod do algebraické geometrie, Bézoutova věta, eliptické křivky
• úvod do algebraické topologie, fundamentální grupy, Poincarého domněnka
• idea důkazu velké Fermatovy věty

Většina témat byla v covidovém roce 2020/21 nahrána na video a je k dispozici na staré stránce kurzu (nicméně současné provedení přednášek může být podstatně jiné, snad lepší). Loňský rozvrh je zde a letos to bude podobné, nikoliv stejné.

Vyučující: na přednáškách se budou střídat Maroš Grego, Víťa Kala, Maryia Kapytka, Ondřej Ježil, Alexander Slávik a David Stanovský.

K1 stream (jen někdy)
záznamy některých přednášek (nacházejí se na univerzitním úložišti v rámci služby O365; nejprve budete požádáni zadat svůj univerzitní login tvaru 12345678@cuni.cz, poté se přihlásíte do O365 stejným způsobem jako do SIS)

Průběžně aktualizovaný program + předběžný plán: (zatím kopie z loňska, dozná změn)

	téma	vyučující	doporučené čtení a koukání	domácí úlohy
21.2.	Quo vadis mathematica, Millenium Prize Problems.	Sta.	slajdy s odkazy, prezentace viz úložiště
28.2.	Kvaterniony, oktoniony a dál?	Kap.	oktoniony na wikipedii
7.3.	Algebraické křivky: počet křížení, Bézoutova věta, grupová operace na eliptických křivkách.	Sta.	wikipedia: algebraické křivky, příklady
14.3.	Samoopravné kódy.	Gr.	skripta Barto-Tůma ke kurzu lineární algebry, kap. 5.8 Hammingův kód na wikipedii
21.3.	Volné grupy a Banach-Tarského paradox.	Slá.	wikipedia	DÚ 1 do 11.4.
28.3.	Konečná tělesa v kombinatorice a statistice: Vzájemně ortogonální latinské čtverce a design experimentů.	Kala	skripta Algebra pro informatiky, sekce 9.4 latinské čverce na wikipedii, Dobble
4.4.	Využití interpolace: Reed-Solomonovy samoopravné kódy, QR-kódy.	Kap.
11.4.	???	??
18.4.	--- velikonoce --- (detektivka na večer)	-	(video + komentář k videu)
25.4.	Polynomy a logika: Interpolace více proměnných a reprezentace funkcí na konečné množině, algebraické důkazové systémy	Jež.

Výběr dalších témat (data 2.-23.5.):

XXX	??? Maticové reprezentace grup.	Slá.
XXX	??? Eliptické křivky v teorii čísel (Birch a Swinnerton-Dyerova domněnka) a v kryptografii [půl přednášky].
XXX	??? Různá kratší témata z teorie grup: Loydova patnáctka, Maticové reprezentace grup, Cyklické grupy a digitální podpis (Schnorrův algoritmus), Copánkové grupy, Prezentace grup.
XXX	??? Úvod do algebraické topologie: fundamentální grupy, Poincarého domněnka
XXX	??? Ken Ribet: důkaz velké Fermatovy věty.		video + komentář k videu
XXX	??? Od Cardanových vzorců ke Galoisovým grupám

Zápočet z prosemináře = zisk aspoň 50 bodů. Ty je možné získat za domací úkoly nebo úspěšné řešení kahootů na přednášce.

• Na (skoro) každé přednášce bude kahoot, první třetina v pořadí získává 5 bodů.
• Za semestr budou tři série písemných domácích úloh, každá 5-6 úloh po cca 5 bodech.

Tabulka s body.

Pokud Vás zajímá algebra, teorie čísel či jejich aplikace hlouběji, v druhém ročníku si můžete zapsat také kurzy Teorie čísel a Úvod do kryptografie.
Příbuznými tématy se zabývá také kurz Úvod do matematické logiky, vhodný pro 2. ročník.