David Stanovský
// 
|
|
| PROSEMINÁŘ Z ALGEBRY 2020/21 |
Proseminář z algebry (NMAG261) je doporučen souběžně s úvodním kurzem Algebry (NMAG206) pro 2. ročník. Bude obsahovat různá témata prohlubující, doplňující a rozšiřující probíranou látku - teorii i aplikace. Proseminář je doporučen všem studentům, kteří se v dalším studiu setkají s algebrou (tj. zejména studenti struktur a MIT), a také těm, kteří zatím váhají s výběrem oboru a rádi by se dozvěděli, čím se zabývá současná matematika.
Stručný program: Vysvětlíme si motivaci a základní principy několika navazujících disciplín (algebraická geometrie, algebraická topologie, algebraická teorie čísel), ukážeme si vybrané aplikace (samoopravné kódy, šifry, design experimentů), doplníme příklady k přednášce (volné grupy, grupy na eliptických křivkách, vzorce na řešení polynomiálních rovnic), ke konci možná využijeme čas na doplnění některých zajímavých, ale těžších důkazů, které se nestihnou na přednášce. V průběhu semestru shlédneme videopřednášku Kena Ribeta (Berkeley), jednoho ze spolutvůrců důkazu velké Fermatovy věty.
Předběžný plán / Průběžně aktualizovaný program přednášky:
| téma | doporučené čtení a koukání | domácí úlohy | |
| 1.3. | Quo vadis mathematica. | video přednášky
$1M problems, Fieldsovy medaile, historie algebry |
|
| 8.3. | Kvaterniony, oktoniony a dál? Kvaterniony, rotace a jiné Lieovy grupy. | video přednášky kniha John Stillwell: Naive Lie Theory, kap. 1-2 |
kvíz 1, výsledky |
| 15.3. | Vícenásobné kořeny polynomů a derivace (nejen reálných polynomů). | video přednášky skripta Algebra, sekce 2.5 |
|
| 22.3. | Konečná tělesa v kombinatorice a statistice: Vzájemně ortogonální latinské čtverce a design experimentů. | video přednášky skripta Algebra pro informatiky, sekce 9.4 latinské čverce na wikipedii, Dobble |
DÚ 1 do 5.4. |
| 29.3. | Úvod do samoopravných kódů. | video přednášky skripta Barto-Tůma, sekce 5.8, Hammingův kód na wiki |
|
| 5.4. | ---- velikonoce ---- (detektivka na večer) | (video + komentář k videu) | |
| 12.4. | Konečná tělesa v informatice: šifra AES, Reed-Solomonovy kódy. |
video úvod, AES, RS skripta Algebra pro informatiky, sekce 9.1, 9.3 wikipedia: Reed-Solomonovy kódy |
|
| 19.4. | Úvod do algebraické geometrie: Bézoutova věta, grupová operace na eliptických křivkách. |
video Bézout 1, Bézout 2, el. křivky / slajdy wikipedia: Bézoutova věta, eliptické křivky přehledový článek o grupách na eliptických křivkách | DÚ 2 do 26.4. |
| 26.4. | Cyklické grupy, diskrétní logaritmus a kryptografie. Maticové reprezentace grup (základní myšlenka). |
video + zápisky úvodní slovo + video + komentář k videu |
DÚ 3 do 10.5. |
| 3.5. | Ken Ribet: důkaz velké Fermatovy věty. | video + komentář k videu | kvíz 2, výsledky |
| 10.5. | Volné grupy a prezentace grup. | video + komentář + zápisky | |
| 17.5. | Copánková grupa. Úvod do teorie uzlů. |
video přednášky, obrázkové video, starý komentář video + komentář |
|
| 24.5. | Úvod do algebraické topologie: fundamentální grupy, Poincarého domněnka | video přednášky | DÚ 4 do 6.6. |
| 31.5. | Od Cardanových vzorců ke Galoisovým grupám | video přednášky | --- |
Další doporučené kurzy pro druhý ročník, kde najdete využití algebry, jsou Teorie čísel a Úvod do kryptografie.
Zápočet z prosemináře: (definitivní verze)
V průběhu semestru budou zadány dva kvízy (4 otázky po bodu) a čtyři sady písemných domácích úloh (po 20 bodech). Kvízy vyplňuje každý sám, písemné úkoly můžete odevzdávat po dvojicích (v takovém případě odevzdávejte jedno řešení se dvěma podpisy a každý musí sepsat řešení aspoň jedné úlohy).
Nejhorší sada se škrtá, ke třem sadám se přičítá počet bodů z kvízů (maximum je tedy 68 bodů). Na zápočet musíte získat aspoň 45 bodů. Pokud někomu bude chybět malé množství bodů na zápočet, zadám individuálně náhradní sadu.