Dole jsou nahraná cvičení (postupně je sem přidáváme). Mnohem víc příkladů i s řešeními je na stránce Olina Slávika, vřele doporučuji.
-
Výpočet Galoisovy grupy polynomu x4+1.
Řešení písemně: Polynom x4+1∈Q[x] má čtyři komplexní kořeny, ζ, ζ3, ζ5, ζ7, kde ζ=exp(2πi/8). Jednoduše každý z kořenů je jistá mocnina každého jiného, to jest S := Q(ζ) = Q(ζ3) = Q(ζ5) = Q(ζ7) je rozkladové nadtěleso x4+1 nad Q. Pak ještě ověříme, že x4+1∈Q[x] je ireducibilní (nemá racionální kořen a součin žádných dvou kořenových činitelů nad komplexními čísly nemá racionální koeficienty). Z přednášky a popisu S tedy máme pro každé k∈{1,3,5,7} jednoznačný prvek Galoisovy grupy φ takový, že φ(ζ)=ζk. Když přímo spočítáme, jak se takové prvky Galoisovy grupy skládají, dostaneme, že Gal(x4+1/Q)≅Z8*≅Z2×Z2.
-
Výpočet Galoisovy grupy polynomu x5-2.
Tady jde vlastně o vzorové řešení posledního příkladu z posledního domácího úkolu. Pro zvídavé:
- v čase 18:42 se odkazuje na čtvrtou úlohu třetího cvičení zde,
- konkrétní popis Galoisovy grupy Gal(U/Q) (nejen počet prvků) je naznačen v loňském úkolu od Davida Stanovského.
-
Burnsideova věta/Burnsideovo lemma v obrázcích.
Byť s počítáním orbit obecně problémy nejsou, na Youtube nedávno přibylo toto video od M. Olšáka, které to na příkladu důkladně vysvětluje.
-
Minimální polynomy pomocí působení Galoisových grup.
Tady je cílem vysvětlit sofistikovanější počítání minimálních polynomů a hlavně to, jak si ušetřit práci s pomocí Galoisovy teorie.