Odpovědi na otázky položené v 1. kvízu v Lineární algebře 2.

Zde najdete odpovědi na dotazy z kvízu. Je možné, že byly přeřazeny z jedné kategorie do druhé nebo že je v seznamu odpověď na velice podobný dotaz někoho jiného.

Matematické dotazy

Viem, že ste tomu už venovali čas na prednáške, ale ešte raz by som chcel poprosiť o stručné vysvetlenie, prečo skalárny súčin definujeme len pre vektorové priestory nad ℝ a ℂ a prečo iné definície nie sú pre nás také užitočné.

Ze skalárního součinu nad ℝ nebo ℂ můžeme definovat normu, která nám umožní měřit vzdálenost vektorů (vzdálenost vektorů u a v definujeme jako nezáporné reálné číslo ||u-v||). Tím pádem můžeme a brzy budeme mluvit o přibližných řešeních soustavy lin. rovnic (i když soustava Ax=b nemá řešení jako taková, můžeme vyměnit sloupec pravých stran b za co nejbližší takový, aby řešení měla). To se hodí pro různé praktické úlohy a nejde to přímočaře zobecnit pro jiná tělesa.

Pokud bych chtěl být přízemnější - čím nahradit podmínku (SP) v definici skalárního součinu třeba nad ℤ5?

Není mi zcela jasná úloha 4 v tomto kvízu. Např. z definice 8.36 víme, že rovnost nastane právě tehdy, když cos(α)=1, což nastane právě tehdy, když je úhel mezi vektory nulový. Při jiné velikosti úhlu α rovnost nemůže nastat. Tím jsme vyřadili odpovědi, že rovnost platí vždy a rovnost nemůže nastat. Věta 8.33 zase říká, že rovnost nastane právě tehdy, když (x, y) je LN posloupnost. Tedy je tam ekvivalence a v tom případě platí obě zbylé možnosti. Také mi není jasné, zda <u, v> je to samé jako |<u, v>|.

Klíčová je poslední věta v otázce: |<u, v>| je absolutní hodnota <u, v>. Úplně konkrétně tedy (protože pracujeme nad reálnými čísly) |<u, v>| = ±<u, v>.

Jinými slovy: (u, v) je LZ, právě když ||u|| ||v|| = ±<u, v>. Takže rovnost ||u|| ||v|| = <u, v> implikuje, že (u, v) je LZ, ale opačná implikace neplatí. Posloupnost (u, v) může být LZ i v případě, že vektory u a v svírají úhel 180 stupňů.

Nerozumela som príkladu 8.34 v skriptách, ako sme vypočítali normy vektorov z toho vyjadrenia skalárneho súčinu.
Když si tu matici řádu 2 v příkladu označíme jako A, pak pro vektor x = (x1, x2)T máme ||x||2 = x* A x = 5x1x1 - 2x2x1 - 2x1x2 + x2x2. Tolik maticové násobení. Pak už jen využijeme toho, že pro každé komplexní číslo z platí, že zz = |z|2 a z+z = 2 Re(z), a nakonec odmocníme.

Organizační dotazy

Žádné nebyly vzneseny.