Odpovědi, kvíz 3 (LA2)

Matematické dotazy

Na stránkách přednášejícího je uvedeno, že kapitola 8.6 se zkoušet nebude, zatímco v Moodle jsou některé její části uvedeny mezi zásadními. Jak je to tedy? :-) Děkuji

Už je to na stránkách upřesněno: část 8.6.1 se zkoušet bude, části 8.6.2 a 8.6.3 nebudou.

Měl bych dotaz ohledně ortogonální projekce. Pokud správně rozumím látce, pak ortogonální projekce nám umožňuje najít nejlepší aproximaci vektoru v libovolném vektorovém prostoru do kterého daný vektor nepatří. Pokud bychom měli, jako v posledním domácím úkolu, vektorový prostor P, jakožto prostor polynomů druhého stupně nebo menšího, a hledali jsme v tomto prostoru aproximaci nějaké nepolynomiální funkce jako například sinus, pak ortogonální projekce sinu do P by měla být nejlepší aproximace sinu v pomocí polynomů druhého nebo menšího stupně. Je zde nějaká souvislost s Taylorovým polynomem druhého stupně?

Ortogonální projekci chápete dobře. Detail se skrývá v tom, co přesně znamená nejlepší aproximace.

V příkladu z DÚ jsme uvažovali nejlepší aproximaci vzhledem k tzv. L² normě/vzdálenost funkcí. Intuitivně se snažíme, aby se moc nelišil průběh funkcí sinus a daného polynomu na daném intervalu (byť i tady je ďábel v detailu, neboť o totéž se snaží i aproximace vzhledem k tzv. L^p normám pro p jiné než 2, ale to budu pro teď ignorovat).

Taylorův polynom se naopak intuitivně snaži o co nejlepší aproximaci funkce na hodně malém okolí bodu, ve kterém ten rozvoj děláme.

Nějakou jasnou souvislost Taylorova polynomu se skalárním součinem nevidím. V matematice probírané v dalších ročnících se sice formulky pro výpočet derivací funkce (tj. i Taylorových koeficientů) pomocí skalárního součinu definovaného integrálem objevují (např. Cauchyho integrální formule pro derivaci holomorfní funkce, nebo skalární součin s derivacemi Diracovy delta funkce - která vlastně není funkce, ale tzv. distribuce), ale vždy jsou tam nějaké komplikovanější technické aspekty.

Chtěl jsem zmínit za všechny prváky, že jsme zatím měli v matematické analýze pouze jednu přednášku na primitivní funkce, tedy velká část z nás (dovolil bych si říct většina) ještě integrovat neumí a ani se s používaným značením moc nesetkala. To že skripta často používají zrovna integrály na ukazování nějaké myšlenky či příkladu je tedy nešikovné, ale s tím se asi nedá už nic dělat, prostě tyto příklady přeskakujeme. Domácí úkoly však přeskočit nelze a tedy hodně z nás bylo zaskočeno naším druhým domácím úkolem, kde jsme integrovat museli. U domácího úkolu však máme čas naše nedostatky diskutovat se spolužáky či s internetem. Pokud by se však podobný výpočet vyskytl v midtermu, tak si s ním určitě hodně lidí nebude vědět rady a tedy prosím, jestli by to bylo možné a jestli podobné zadání plánujete zařadit do midtermu, zda byste radši nepoužil jiný příklad. Děkuji předem za jakoukoliv reakci!

V midtermu ani zkoušce Vás s integrály určitě trápit nehodláme. V tomto ohledu je ve skriptech i na cvičení dost "maticových" příkladů.

Na druhou stranu považujeme skalární součin v prostorech funkcí za natolik důležitý příklad, že není od věci Vás mu vystavit aspoň prakticky, byť jste v analýze teorii do té míry ještě nedobudovali. Aspoň interpretace integrálu coby obsahu plochy pod grafem funkce bývala své doby obsahem látky i na gymnáziích - zdá se tedy, že toto téma z osnov mizí. Hledat primitivní funkce na papíře je také znatelně jiný úkol, než naučit se příkaz v nějakém matematickém softwaru, který vypočítá určitý integrál (tj. plochu pod grafem funkce v nějakém konkrétním intervalu) s přesností na několik desetinných míst.

Z tohoto hlediska v sobě řešení úkolu skrývá řadu aspektů důležitých i do budoucna - v základních rysech se orientovat v pojmech, ke kterým člověk nezná do puntíku všechnu teorii, používat software atp. Je tu samozřejmě otázka míry zátěže takovým problémem. K tomu rádi uslyšíme zpětnou vazbu.

Organizační dotazy

Žádné nebyly vzneseny.