Odpovědi na otázky položené v 5. kvízu v Lineární algebře 2.

Zde najdete odpovědi na dotazy z kvízu. Je možné, že byly přeřazeny z jedné kategorie do druhé nebo že je v seznamu odpověď na velice podobný dotaz někoho jiného.

Matematické dotazy

Podle tvrzení 9.36 podobné matice sdílí vlastní čísla. Nicméně jelikož se na podobné matice můžeme dívat, jako na matice představující tu samou transformaci prostoru, jen v rámci jiných bází, neznamená to že matice musí sdílet i vlastní vektory v rámci jejich příslušných bází? Zjednodušeně kdybychom si nakreslili na papír vlastní vektory obou matic, dostali bychom na papíře ty samé čáry?
Ano, to je přesně výhoda pohledu přes operátory. Pokud se na podobné matice díváte jako matice téhož operátoru f vzhledem k různým bázím, pak vlastní vektory těch dvou matic budou vlastní vektory f, jen zapsané vzhledem k patřičným bázím.
Chtěl bych se zeptat k minulému domácímu úkolu, příklad 4.2, proč byl nutný ten převod matice operátoru do kanonické báze. Nebylo těžké najít matici, která splňovala zadání, ani její převod do kanonické báze, ale není mi jasné, proč bylo nutné dělat i ten převod do kanonické báze. Udělal jsem ho, protože to bylo v nápovědě, ale vlastně nevím proč. Možná to souvisí s tím, že mi není zcela jasný rozdíl mezi maticí, maticí operátoru a operátorem.
Zamýšlené řešení úlohy 4.2 spočívalo v tom, že se vzala báze B prostoru ℝ3, která sestávala z vlastních vektorů hledané matice A (a tedy i operátoru fA). Taková báze je ze zadání např. B=( (1,1,0)T, (1/2, 1, 0)T, (-1/2, 0, 1)T ) a matice fA vzhledem k bázi B musí být pak diagonální, konkrétně [fA]BB = diag( 3, -1, -1 ). Přepočet do kanonické báze K = (e1, e2, e3 ) provádíme proto, že chceme znát matici A a platí A = [fA]KK, tj. A je matice operátoru fA vzhledem ke kanonické bázi.

Organizační dotazy

Žádné nebyly vzneseny.