Odpovědi na otázky položené v 2. kvízu v Lineární algebře 1.

Zde najdete odpovědi na dotazy z kvízu. Je možné, že byly přeřazeny z jedné kategorie do druhé nebo že je v seznamu odpověď na velice podobný dotaz někoho jiného.

Matematické dotazy

Prosím o dovysvětlení, co přesně znamená pojem lineární kombinace vektorů.
Vizte definici 2.21 ve skriptech. Lineární kombinace vektorů u1, ..., un jsou ty vektory, které vzniknou jako součty nějakých násobků u1, ..., un.
Ráda bych se zeptala jaké jsou různé Gaussovy eliminace? Vím z přednášky o jedné, tu co jsme dělali a nevím jaké jsou ty další.
Tady muselo dojít k nedorozumění. Gaussova eliminace je jen jedna, je to algoritmus na řešení soustav lineárních rovnic. Jen v ní nejsou některé kroky specifikovány úplně jednoznačně, protože na správnost algoritmu nemají některé volby vliv (např. "vybereme nějaký řádek, který má ve sloupci j nenulový prvek"). To může vést k různým volbám při počítání a různým implementacím na počítači, které nutně musí vést ke stejné množině řešení (byť možná jinak zapsané, pomocí jiných vektorů atp.)
Chci se zeptat na bázové a volné proměnné u rovnic, ve kterých některá proměnná chybí, jako v úloze 1, kde v rovnici není x. Jaká je x v tomto případě proměnná a proč? Děkuji
Pokud proměnná chybí v celé soustavě, pak bude volná, její hodnotu si můžeme zvolit libovolně. Bázové proměnné soustavy jsou ty, v jejichž sloupci máme pro převodu na odstupňovaný tvar pivoty, což se u chybějící proměnné stát nemůže. Volné jsou ty ostatní. Terminologie není náhodná - hodnoty volných proměnných si můžeme zvolit, jak chceme. Hodnoty bázových pak zpětnou substitucí dopočítáme. Každá volba volných proměnných nám dá řešení soustavy a všechna řešení dostaneme takto.
Měl jsem problémy s celou kapitolou 2.6. Nepochopil jsem, kdy si můžeme dovolit zaokrouhlovat a kdy ne.
To je spíš na konzultaci. Kapitola 2.6 je spíš doplňující a jsou v ní ilustrovány dvě základní potíže s reálným řešením soustav:
  1. Pokud jsou pivoty o několik řádů menší než jiné koeficienty v matici soustavy, říkáme si o problémy se zaokrouhlováním. Proto máme metody, jak se tomu vyhnout: U částečné pivotace vybíráme v Gaussově eliminaci řádek s nenulovým koeficientem v nejlevějším sloupci tak, aby pivot byl co největší. V úplné pivotaci přehazujeme za účelem výběru co největšího pivota i sloupce, což se v Gaussově eliminaci nedělá, protože tím prohazujeme i pořadí proměnných a musíme si průběžně vést evidenci, která proměnná skončila v kterém sloupci. Na druhou stranu úplná pivotace dá nejlepší možný výsledek, co nám zaokrouhlování dovolí.
  2. Z měření dat mohou občas vypadnout tzv. špatně podmíněné matice, které jsou ve smyslu řešení soustav lineárních rovnic beznadějné. Malá změna jednoho čísla může vést k úplně jinému řešení. Tady nás žádný trik nezachrání a příčinu musíme hledat v datech a postupu měření.

Organizační dotazy

Jestli mám všechno odpovězeno (a uloženo), bude to automaticky poslano v pondělí bez "Odeslat vše a ukončit pokus"? Jakože chci nechávat do deadlinu možnost opravit něco; na jinou stranu můžu pak zapomenout a neodevzdat.
Odpovědi, prosím, odesílejte. Pokud je neodešlete, musíme Vám počet bodů vyhodnotit manuálněa dosti to zpomaluje i přístup k Vašim dotazům. Moodle se bohužel natolik chytrý nezdá (třeba se nám časem povede najít způsob, jak to obejít).
Jakým způsobem budou probíhat midtermy? Budou online?
Ano, budou určitě on-line. Nejspíše půjde o kombinaci zaklikávacích otázek jako v kvízu a u složitějších úloh (počítání s postupem, důkazy) budeme chtít nahrát sken Vašeho řešení na papíře podobně jako u úkolů.
Důkaz funkčnosti algoritmu Gaussovy eliminační metody se po nás u zkoušky, příp. midtermů, chtít nebude? Děkuji.
Napsat důkaz nejspíše ne, protože ten je při porozumění algoritmu celkem přímočarý. Pochopit eliminační metodu ale musíte, jinak byste mohli mít při sledování dalších přednášek i u některých úloh v midtermech problémy.
Já bych byl velice rád, kdybychom se na přednášce věnovali definicím, větám a důkazům, které budou na zkoušce a nemuseli je tedy dělat ve skriptech, kde ještě k tomu hrozí, že je nepochopíme. Takhle na přednáškách hodně počítáme a bez skript je téměř nemožné odpovědět i na otázky v kvízu. Samozřejmě tím nechci říct, abychom nemuseli používat skripta, spíš aby skripta sloužila jen jako doplnění informací a k hlubšímu pochopení, nikoliv jako to jediné, z čeho se máme učit. Děkuji!
No, on raison d’être kvízů tak trochu je přimět Vás se průběžně dívat do skript. Jinak Gaussova eliminační metoda je praktická dovednost, proto to počítání. Definice budou, nebojte, ale smysl přednášek je spíš vysvětlit význam a formální stránku důkazů přenechat skriptům.
Chtěla bych se zeptat, s jakou obtížností příkladů máme počítat u midtermů - tedy je nutné porozumět a umět vypočítat všechny příklady ze cvičení, nebo stačí určitý stupeň obtížnosti - základní příklady, obtížnější příklady a ještě obtížnější příklady.
Midterm bude obsahovat kombinaci různých typů problémů podle tohoto klíče. Pro ilustraci se můžete podívat na jeden midterm z minulých let.
Na stránkách v sekci požadavky ke zkoušce používáte označení "zásadní věci" - znamená to, že tyto věci jsou zásadní pro pochopení jiných věcí, které budou u zkoušky, ale ony samotné zkoušeny nebudou? Nebo budou také zkoušeny?
Zásadní věci jsou potřeba pro pochopení jiných věcí i ke zkoušce. Mohou být zkoušeny buď samy o sobě (např. vysvětlit takový zásadní pojem) nebo i tou formou, že otázka sice bude formulována jinak, ale jejich pochopení bude potřeba ke zodpovězení.