Požadavky ke zkoušce z Lineární algebry 1 - aneb, co jsme v ZS 2020/21 probrali a co je z toho nejdůležitější.

Obecné poznámky

Sekce v učebnici mají různou důležitost.

Některé části jsou spíše motivační: vysvětlují problematiku na příkladech, ukazují aplikace. Tyto části je dobré si jednou přečíst a pochopit, ale samy o sobě se zkoušet nebudou (ve smyslu: nebudeme se ptát, jak se vypočítá konkrétní elektrický obvod, ale měli byste rozumět obecnému principu, jak se od reálné situace dostaneme k soustavě lineárních rovnic).

Jiné části, zpravidla na konci kapitol, mají doplňující charakter. Určitě se podívejte, o čem hovoří, v čem je popisovaný problém. Nastudujte v případě, že vás problematika zajímá (například, nebudeme se ptát, jak řešit problém numerické stability, ale měli byste si být vědomi, že problém existuje).

Větší část učebnice vás seznamuje se základními koncepty lineární algebry. Až na pár níže uvedených výjimek se vše může objevit u zkoušky. Většina témat má charakter zcela zásadní a bez detailní znalosti nelze pochopit další kapitoly ani udělat zkoušku (například Gaussova eliminace nebo součin matic). Těmto částem je třeba věnovat většinu pozornosti a u většiny studentů vyžadují aspoň dvojí čtení.

Část teorie má méně zásadní charakter. Ta se sice bude zkoušet, ale pokud ji hned nepochopíte, přednášce máte šanci i nadále rozumět.

Níže uvedený a průběžně doplňovaný seznam vám bude pomůckou při čtení skript.

Kapitola 1

Máte znát, umět používat, ale samo o sobě se zkoušet nebude. Konkrétně:

  • 1.1, 1.2, 1.3: pevně věříme, že analytická geometrie nikomu nečiní problémy,
  • 1.4: umět základní počty s komplexními čísly (násobení, mocnění, goniometrický tvar),
  • 1.5: rozumět pojmu zobrazení a s ním svázané terminologie.

Kapitola 2

  • 2.1: aplikace pochopit, ale samo o sobě se zkoušet nebude,
  • 2.2, 2.3, 2.4, 2.5: zásadní věci, bez znalosti Gaussovy eliminace neporozumíte dalšímu výkladu!
  • 2.6, 2.7: stačí informativně, samo o sobě se zkoušet nebude.

Kapitola 3

  • 3.1: motivaci si přečtěte, sama o sobě se ale zkoušet nebude,
  • 3.2, 3.3: zásadní věci (důkaz tvrzení 3.3 se zkoušet nebude, ale pochopte ho),
  • 3.4: méňe zásadní, ale zkoušet se bude,
  • 3.5: stačí informativně, kvaterniony nebudou potřeba vůbec (ale například zájemci o počítačovou grafiku je určitě ocení právě kvůli tomu, že umožňují efektivně pracovat s rotacemi v 3D prostoru).

Kapitola 4

Téměř všechno jsou zásadní věci, s těmito výjimkami:

  • konec části 4.2.2 (dyadický rozvoj) - zatím netřeba, bude se hodit v letním semestru,
  • 4.2.5 (aplikace) - stačí informativně, samo o sobě se zkoušet nebude,
  • 4.2.6 (blokové násobení matic) - stačí informativně, ale princip pochopte, protože Vám leckdy může ušetřit dost práce,
  • 4.5.2 (LU-rozklad) - stačí informativně. Věta o LU rozkladu se zkoušet nebude, ale pochopte, proč je inverze dolní nebo horní trojúhelníkové matice také dolní nebo horní trojúhelníková.

Bez dobré znalosti maticového násobení a pochopení pojmu regulární matice (sekce 4.2 a 4.4) neporozumíte dalšímu výkladu!

— Znalosti potud budou zkoušené v 1. midtermu —

Kapitola 5

Téměř všechno jsou zásadní věci, s výjimkou sekcí:

  • 5.5.3 (skeletní rozklad) – stačí informativně definice a smysl, zkoušet se nebude,
  • 5.7 (prostory nekonečné dimenze) – stačí informativně, samo o sobě se zkoušet nebude, ale při četbě ke zkoušce si cvičně rozmyslete, která tvrzení platí i pro prostory, které nejsou konečně generované,
  • 5.8 (samoopravné kódy) – na přednášce ani u zkoušek nebude, doporučeno zájemcům o IT aplikace lineární algebry k samostudiu,
  • části 5.1.3, 5.2.3, 5.2.9, 5.3.1 patří mezi méně zásadní – zkoušet se budou, občas se použijí v důkazech, ale při prvním čtení jim lze věnovat méně pozornosti.

Bez dobré znalosti pojmů podprostoru, lineárního obalu, lineární (ne)závislosti, báze a hodnosti matice (sekce 5.2 - 5.6) neporozumíte dalšímu výkladu!

— Znalosti potud budou zkoušené v 2. midtermu —

Kapitola 6

Téměř všechno jsou zásadní věci, s výjimkou sekce:

  • 6.5 - obsahuje sice standardní a běžně používané pojmy a tvrzení, ale z časových důvodů se v tomto semestru přednášet ani zkoušet nebude. Podle potřeby se k tomu vrátíme později.

Bez dobré znalosti pojmu lineárního zobrazení a jeho matice (tj. zejména sekcí 6.1 a 6.2) neporozumíte dalšímu výkladu!

Kapitola 7

  • 7.1 - motivační sekce, u zkoušky po Vás odsud můžeme chtít počítat s malými determinanty (matic do řádu 3) nad reálnými čisly,
  • 7.2 - servisní sekce potřebná k definici determinantu, zkoušet se bude,
  • 7.3, 7.4 - jsou zásadní části této kapitoly (teorie se bude zkoušet už v zimním semestru, větší výpočty ale posuneme do letního, protože na tyto sekce skript na cvičení dojde až v prvním týdnu letního semestru),
  • 7.5 - je zasvěcena výpočtu jednoho užitečného determinantu, zkoušet se nebude, ale ještě jej ve svém studiu určitě potkáte.

Bez dobré znalosti pojmu determinantu a jeho základních vlastností (sekce 7.3) nepochopíte kapitolu o vlastních číslech!

Klíčové výsledky

Zde je seznam těžších tvrzení z přednášky, které byste u zkoušky měli znát a rozumět jim včetně důkazů:

  • věta o jednostranných inverzích (4.67, 4.70),
  • věta o LU rozkladu (4.99) (v tomto roce se nezkouší),
  • Steinitzova věta o výměně (5.60),
  • věta o dimenzi podprostoru (5.69),
  • rovnost dimenze řádkového a sloupcového prostoru (5.88 a pomocná tvrzení),
  • Tvrzení o skeletním rozkladu pomocí redukovaného řádkově odstupňovaného tvaru (5.97) (v tomto roce se nezkouší),
  • věta o dimenzi jádra a obrazu (5.99),
  • věta o dimenzi součtu a průniku (5.103),
  • věty o znaménku permutace (7.7, 7.8),
  • vlastnosti determinantu (7.19),
  • věta o rozvoji determinantu (7.32).