NMAG102: Linearni algebra a geometrie 2, letni semestr 2012-2013

PREDNASEJICI

  • Jiri Tuma, Ut 12:20 - 13:50 v M1, St 14:00 - 15:30 v M1
  • Libor Barto, Ut 9:00 - 10:30 v M1, Ut 12:20 - 13:50 v F2
Konzultace po dohode (osobne nebo emailem)

web: http://www.karlin.mff.cuni.cz/~barto/LA1213leto.html
web zimniho semestru: http://www.karlin.mff.cuni.cz/~barto/LA1213zima.html

OZNAMENI

  • 23.5. Pozor, zmena poslucharen na terminy 30.5. Opravna zapoctova pisemka bude 30.5. od 9:00 v M1, prvni termin bude 30.5. od 11:00 v M1.
  • 14.5. Chyba v prikladu 11.1 v DU. Chybi predpoklad, ze bod d nelezi na primce B ani na primce C, doplnte si jej.
  • 2.5. Tento tyden nebude domaci ukol. Zbyle dva ukoly budou zadany v dalsich dvou tydnech.
  • 30.4. Prednasky 30.4. i 7.5. bude nakonec prednaset pan Tuma.
  • 30.4. a 7.5. bude mit paralelka pana Tumy dve prednasky. Ve 12:20 M1 bude prednaset P. Ruzicka, ve 14:00 M1 bude prednaset L. Barto.
  • 24.4. Drobna chybicka se vloudila do prikladu 9.2. Tvrzeni, ktere mate dokazat, plati pouze za predpokladu, ze afinni prostor ma dimenzi alespon 1. Tento predpoklad je tedy treba pridat. Dekujeme vsimavemu studentovi za upozorneni!
  • 1.4. Chyba v 6. DU. V prikladu 6.2. ma byt obecna realna NORMALNI matice, jinak by tvrzeni neplatilo.
  • 19.2. Vitame vas! System bude podobny jako v minulem semestru. Drobne zmeny: zapoctove testy zacnou jiz 2. tyden, prvni domaci ukol bude zadan tento ctvrtek, termin bude pristi ctvrtek. Domacich ukoly budou tvorit 15% zkousky (ne 20% jako v zimnim semestru). Na prvni odevzdanou praci radeji napiste znovu jmeno i prezdivku, i kdyz se shoduje s prezdivkou v prvnim semestru.

OBSAH PREDNASKY

Diagonalizovatelne linearni operatory a matice; vlastni cisla, vlastni vektory, charakteristicky polynom, algebraicka a geometricka nasobnost, charakterizace diagonalizovatelnosti, reseni diferencnich a diferencialnich rovnic s diagonalizovatelnou matici. Invariantni podprostory. Jordanova bunka, Jordanuv kanonicky tvar, charakterizacni veta, rozklad na cyklicke invariantni podprostory, mocneni matic v JKT, jednoznacnost JKT, Cayley-Hamiltonova veta, aplikace. Schuruv rozklad, unitarni diagonalizace - normalni, hermitovske a unitarni matice.

Bilinearni formy a kvadraticke formy, matice BF, symetricke a antisymetricke formy, f-ortogonalita, f-ortogonalni doplnek, radikal, f-ortogonalni baze - metoda doplnku, metoda symetrickych uprav, explicitni vzorec. Zakon setrvacnosti realnych kvadratickych forem, signatura. Ortonormalni diagonalizace.

Afinni prostor, afinni eukleidovsky prostor, soustava souradic, kartezska soustava souradnic. Linearni kombinace bodu - afinni kombinace, afinni obal, konvexni kombinace, kombinace odpovidajici vektorum. Podprostory - bodovy, parametricky a rovnicovy popis, normalove vektory. Vzajemna poloha, vzdalenost a uhel. Orientace, objem, vektorovy soucin. Afinni zobrazeni. Kvadriky - afinni a metricka klasifikace.

Projektivni prostor, projektivni rozsireni afinniho prostoru, podprostory, indukovana baze. Projektivni rozsireni kvadrik, zmena soustavy souradnic, tecny a polary, klasifikace stredovych kvadrik.

Studijni materialy

KALENDAR

TydenNapln prednasek Domaci ukol Odevzdat do
1) 18.2 - 22.2 Vlastni cisla a vektory, charakteristicky polynom. 1. DU 28.2. 17:20
2) 25.2 - 1.3 Diagonalizovatelnost. 2. DU 7.3. 17:20
3) 4.3 - 8.3 Diagonalizovatelnost. 3. DU 14.3. 17:20
4) 11.3 - 15.3 Jordanuv kanonicky tvar. 4. DU 21.3. 17:20
5) 18.3 - 22.3 Jordanuv kanonicky tvar. 5. DU 28.3. 17:20
6) 25.3 - 29.3 Schuruv rozklad, unitarni diagonalizace. 6. DU 4.4. 17:20
7) 1.4 - 5.4 Bilinearni formy. 7. DU 11.4. 17:20
8) 8.4 - 12.4 Ortogonalni baze, signatura. 8. DU 18.4. 17:20
9) 15.4 - 19.4 Ortonormalni diagonalizace. Afinni prostor. 9. DU 25.4. 17:20
10) 22.4 - 26.4 Linearni kombinace bodu. Podprostory. 10. DU 2.5. 17:20
11) 29.4 - 3.5 Vzajemna poloha, vzdalenost a uhel. --- ---
12) 6.5 - 10.5 Objem, vektorovy soucin. Afinni zobrazeni 11. DU 16.5. 17:20
13) 13.5 - 17.5 Kvadriky. Projektivni prostor. 12. DU 23.5. 17:20
14) 20.5. - 24.5. Projektivni rozsireni kvadriky. --- ---

ZAPOCET

  • Na (temer) kazdem cviceni pocinaje 2. tydnem bude kratky test (cca 10 min) na primocary pocetni priklad
  • Dohromady 11 testu, pocita se 9 nejlepsich, na zapocet je potreba alespon 60% bodu
  • Zadne omluvy (ani nemoc apod.) se nepripousti (proto se pocita pouze 9 nejlepsich testu)
  • Jedina moznost opravy je jeden opravny termin na zacatku zkouskoveho obdobi
  • Opravny test bude obsahovat 9 prikladu, bude trvat 90 min. a bude sestaven z primocarych pocetnich prikladu, podobne jako testy na cvicenich. K ziskani zapoctu je treba alespon 60%, vysledky testu ze cviceni nehraji zadnou roli.
  • Termin opravneho testu je 30.5.2013 od 9:00 v M1. Hlaste se v SISu.

DOMACI UKOLY

  • Zadani naleznete v kalendari vzdy alespon 1 tyden pred odevzdanim
  • Termin odevzdani je vzdy ve ctvrtek 17:20, misto odevzdani je schranka za vchodem na katedru algebry (preferuje se) nebo osobne
  • Dohromady 12 ukolu, pocita se 10 nejlepsich, body se pocitaji ke zkousce (zmena: tvori 15% zkousky).
  • Zadne omluvy (ani nemoc apod.) se nepripousti (proto se pocita pouze 10 nejlepsich DU)
  • V pripade, ze si s ukolem nevite rady, je mozne konzultovat reseni ze spoluzaky apod. Reseni vsak vzdy musi byt psana samostatne. Pokus o podvod muze mit vazne nasledky.

FORMAT ZAPOCTU A DOMACICH UKOLU

  • Prvni odevzdanou praci podepiste jmenem a zvolte prezdivku (napr. jedinecne cislo, apod.), pod kterou budete uvedeni ve vysledcich domacich ukolu a zapoctovych testu nize. Dalsi prace pak staci podepisovat prezdivkou.
  • U domacich ukolu vzdy uvedte cislo kruhu. Budou vam totiz predavany opravene na vasich cvicenich.

VYSLEDKY

Body z DU a zapoctovych testu

ZKOUSKA

  • 15% domaci ukoly, 85% pisemny test
  • Pripadne ustni zkouseni s moznou zmenou znamky jakymkoliv smerem (o jakoukoliv hodnotu)
  • Termin zkousky k prvnimu semestru: 27.5.2013 12:00 K1
  • Terminy zkousek: 30.5.2013 11:00 M1, 12.6.2013 11:30 K1, 27.6.2013 9:00 M1, 11.9.2013 9:00 M1, 25.9.2013 9:00 K1 Nutnou podminkou ucasti je zapocet. Zkouskova pisemka bude trvat 3 hodiny (180 min).
  • Blizsi informace o zkousce
    • Struktura zkouskovych pisemek bude podobna jako minuly semestr s tim rozdilem, ze dohromady lze ziskat 85 bodu
      • 8 bodu: Jednoduche otazky Ano/Ne, netreba zduvodnovat
      • 12 bodu: Definice pojmu
      • 12 bodu: Jednoduche pocetni (nebo jine) priklady, kde staci spravna odpoved
      • 12 bodu: Pocetni priklady, kde je potreba psat postup
      • 12 bodu: Formulace + dukaz nekolika jednodussich tvrzeni z prednasky
      • 20 bodu: Priklady na zamysleni. K vyreseni vetsiny z nich staci dobre rozumet pojmum a tvrzenim z prednasky a geometricky nazor.
      • 9 bodu: Formulace + dukaz duleziteho tezsiho tvrzeni z prednasky:
        • Linearni nezavislost posloupnosti nenulovych vlastnich vektoru prislusnych ruznym vlastnim cislum (Veta 9.32)
        • Charakterizace diagonalizovatelnych operatoru pomoci rovnosti algebraicke a geometricke nasobnosti kazdeho vlastniho cisla (cast Vety 9.39)
        • Veta o jednoznacnosti Jordanova kanonickeho tvaru (Veta 9.67)
        • Cayley-Hamiltonova veta (Veta 9.71)
        • Schurova veta (Veta 9.74)
        • Charakterizace normalnich matic a operatoru (Veta 9.80 a lemma 9.79)
        • Charakterizace hermitovskych a unitarnich matic (Veta 9.81)
        • Veta o ortogonalnim doplnku symetricke bilinearni formy (Veta 10.21)
        • Veta o ortogonalizaci symetricke bilinearni formy (Veta 10.23)
        • Zakon setrvacnosti kvadratickych forem (Veta 10.30)
        • Veta o ortonormalni diagonalizaci realnych symetrickych bilinearnich forem (Tvrzeni 10.38)
        • Tvrzeni o vzdalenosti dvou afinnich podprostoru (Tvrzeni 11.41)
    • Celkove zastoupeni temat v pisemce (nikoliv v jednotlivych prikladech) bude zhruba odpovidat casu venovanemu tematum na prednasce.
    • Z pisemky jde maximalne ziskat 85 bodu, k tomu se prictou body z DU, maximalne 15. Na trojku je potreba 55 bodu, na dvojku 70 bodu a na jednicku 85 bodu.
    • Hodne stesti!

DOPLNUJICI LITERATURA

  • C.D. Meyer, Matrix Analysis and Applied Linear Algebra, SIAM 2000. Ke stazeni zde
  • T.S. Blyth, E.F. Robertson, Basic Linear Algebra, Springer Verlag London,2002,
  • S.H. Friedberg, A.J. Insel, L.E.Spence, Linear Algebra, Third Edition, Prentice-Hall, Inc., 1997
  • Motl, Zahradník: Pestujeme linearni algebru
  • Vyborny, Zahradnik: Pouzivame linearni algebru
  • Databaze odkazu na vsechno mozne o linearni algebre je zde. Napriklad tady je ucebnice linearni algebry s resenymi priklady.
  • Na strankach pana Slovaka je ucebnice a resene priklady.
  • L. Bican, Linearni algebra a geometrie, Academia, Praha 2000.
  • J. Becvar, Vektorove prostory I, II, III, SPN Praha 1978, 1981, 1982.
  • J. Becvar, Sbirka uloh z linearni algebry, SPN Praha 1975.
  • L. Bican, Linearni algebra, SNTL Praha 1979.
  • L. Bican, Linearni algebra v ulohach, SPN Praha 1979.