Komentář k přednášce
Funkcionální analýza (říjen 2014):
Přednáška je věnována základním poznatkům lineární funkcionální analýzy. Koná se každé pondělí v pracovně přednášejícího v budově G od 10.30 do 12.00 hod. Cvičení je řešeno vypracováváním a následnou kontrolou s rozborem chyb doma zpracovávaných příkladů.
Přednáška 1 (6.10.2013): Látka funkcionální analýzy. Role prostoru funkcí - od individuálního zkoumání k vlastnostem systémů funkcí, speciálně posloupností apod. Lineární prostor a prostor se skalárním součinem. Vlastnosti absolutní hodnoty (motivace) a definice normy na lineárním prostoru. Norma generovaná skalárním součinem. Metrický a topologický prostor - zobecňování pojmu spojitosti funkce. Zkloubení LP a MP, případně TP. Metrika generovaná normou. Klíčový pojem: normovaný lineární prostor (NLP).
Přednáška 2 (13.10.2013): Poučení o úlohách
k domácímu zpracování. Lineární prostory. Přímka a úsečka v R^n resp.
C^n. Konvexní množiny. Přehled některých důležitých pojmů z
teorie MP. Příklady NLP. Axiomy Hilbertova prostoru, význam separability.
Schwarzova nerovnost a trojúhelníková nerovnost pro normu v UP, resp. HP.
Geometrie HP. Vzdálenost bodu od neprázdné uzavřené konvexní podmnožiny
HP, "nabývání" v jednoznačně určeném bodě.
K podrobnějšímu zopakování látky z MP mohou sloužit kapitoly dvě
kapitoly textu z MA (kapi12-356Kb, kapi13-370Kb)
ve formatu *.pdf.
Přednáška 3 (20.10.2012): Vzdálenost bodu od neprázdné uzavřené konvexní podmnožiny HP. Speciální případ - důsledky pro podprostor. Informativní výklad o projekcích. Ortogonalita, ortogonální doplněk, vlastnosti. Existence báze LP (bez důkazu). Gram-Schnidtův ortogonalizační proces. Ortonormální systém. Jsou-li X, Y NLP, můžeme sestrojit systém všech lineárních zobrazení prostoru X do Y (značíme [X-->Y]). Spojitá lineární zobrazení prostoru X do Y (značíme (X-->Y)). Jde o lineární prostory, na druhém zavedeme normu. Pojem omezeného (lineárního) zobrazení.
Přednáška 4 (27.10.2013): Tvrzení o nejbližším prvku v HP X, jednoznačnost. Omezenost a spojitost lineárního zobrazení. Norma A \in (X --> Y) jako infimum K > 0 v definici omezenosti zobrazení, tj. inf{ K > 0 : || Ax || \leq K || x ||, x \in X}. Jiné způsoby vyjádření normy. Funkcionály, lineární funkcionály, duální prostor X*. Duální prostor k HP X, věta o reprezentaci f \in X* skalárním součinem f (x) = (x, y_f) s y_f \in X. Rovnost norem.
Následující komentáře (listopad
2014, prosinec 2014, leden
2015)