Úvod do komplexní analýzyObecné informace k organizaci kurzu Předpokládané znalosti a prerekvizity Podmínky pro získání zápočtu Program jednotlivých přednášek a cvičení Informace ke zkouškám |
Obsah jednotlivých přednášek a cvičeníPřednáška č. 1 - 3.10.2017Úvodní informace - o čem a k čemu je komplexní analýza, předpokládané znalosti a prerekvizity, základní informace o zápočtech, zkouškách a literatuře. Dále oddíly I.1 (Těleso komplexních čísel) a I.2 (Komplexní funkce reálné proměnné). Přitom důkaz základních vlastností množiny komplexních čísel byl probrán jen stručně a důkaz Větičky 1 nebyl proveden (podrobný důkaz je k dispozici u textů k přednášce). Cvičení č. 1 Úterní kruh - 3.10.2017: Příklady I/1-4. Přitom příklady 2(a,h) a 3(b) byly podrobně předvedeny, zbylé příklady studenti počítali samostatně. Páteční kruh - 6.10.2017: Příklady I/1-4. Přitom příklady 2(a,i) a 3(b) byly podrobně předvedeny, zbylé příklady studenti počítali samostatně. Přednáška č. 2 - 10.10.2017 Oddíl I.3 (Komplexní funkce komplexní proměnné). Dále oddíl II.1 (Mocninné řady - připomenutí) - definice a věty byly stručně připomenuty, a to bez důkazů, které byly v základním kurzu matematické analýzy. Důkazy jsou zároveň k dispozici u textů k přednášce. Dále začátek oddílu II.2 (Elementární celé funkce) - do Věty II.3 včetně. Cvičení č. 2 Úterní kruh - 10.10.2017: Příklady 1-4 z Příkladů pro porozumění látce ke kapitolám I a II. Dále Příklad I/5. Přitom příklady 1-3 a 4(1-3) byly podrobně předvedeny, příklady 4(4) a I/5 studenti počítali samostatně. Páteční kruh - 13.10.2017: Program byl stejný jako v úterý. Přednáška č. 3 - 17.10.2017 Dokončení oddílu II.2 - zavedení goniometrických a hyperbolických funkcí a Věta 4. Podrobný důkaz Věty 4 je k dispozici u textů k přednášce, na přednášce byly vlastnosti (1)-(8) jen stručně probrány a okomentovány, vlastnosti (9)-(16) byly dokázány. Dále začátek oddílu II.3 (Logaritmus, argument, obecná mocnina) - do Věty 5(5) včetně příslušných důkazů. Cvičení č. 3 Úterní kruh - 17.10.2017: Analýza řešení rovnice sin(z)=w a tg(z)=w v závislosti na w∈C. Dále samostatné počítání příkladů I/6,7 a analýzy řešení rovnice cotg(z)=w v závislosti na w∈C. Doporučení pro domácí počítání: analýza řešení rovnice cos(z)=w. Páteční kruh - 20.10.2017: Analýza řešení rovnice sin(z)=w a tg(z)=w v závislosti na w∈C, chování funkcí exp(1/z) a sin(1/z) v prstencovém okolí nuly. Dále samostatné počítání příkladů I/6,7 a analýzy řešení rovnice cotg(z)=w v závislosti na w∈C. Doporučení pro domácí počítání: analýza řešení rovnice cos(z)=w. Přednáška č. 4 - 24.10.2017 Dokončení oddílu II.3 - od Věty 5(5) do konce oddílu. Dále začátek oddílu III.1 (Křivky a křivkový integrál v C) - do Větičky 2 včetně. Přitom vztah křivkového integrálu v C byl jen stručně zmíněn a důkaz bodu (3) z Větičky 1 nebyl proveden (je snadný, pokud známe důkazy bodů (1) a (2), zároveň je k dispozici u textů k přednášce). Cvičení č. 4 Úterní kruh - 24.10.2017: Chování funkcí exp(1/z) a sin(1/z) v prstencovém okolí nuly, dále příklady 13 a 14(1,2) z příkladů k pochopení látky ke kapitolám I a II. Dále samostatně příklady II/1,2 a případně zbytek příkladu 14 (doporučuji rozmyslet doma). Páteční kruh - 27.10.2017: Příklady 13 a 14(1,2,3) z příkladů k pochopení látky ke kapitolám I a II. Dále samostatně příklady II/1,2 a případně zbytek příkladu 14 (doporučuji rozmyslet doma). Přednáška č. 5 - 31.10.2017 Dokončení oddílu III.1 - od Větičky 3 do konce oddílu. Dále začátek oddílu III.2 (Integrály a křivkové integrály závislé na parametru) - Věta 6 se základním schématem důkazu (podrobný důkaz nebyl proveden, je k dispozici u textů k přednášce) a Věta 7(1,2). Cvičení č. 5 Úterní kruh - 31.10.2017: Příklady k pochopení látky - 4 a 5 ke kapitole III, 12 ke kapitolám I a II, 6 ke kapitole 3, více o funkci Γ. Páteční kruh - 3.11.2017: Program byl stejný jako v úterý. Přednáška č. 6 - 7.11.2017 Dokončení oddílu III.2 - Věta 7(3,4). Dále oddíl III.3 (Spojité větve logaritmu, index bodu ke křivce) - do Poznámky (1) za Větou 11 včetně. Obecný případ Věty 8 dokázán nebyl, jen jednoznačnost a speciální případ. Důkaz obecného případu je k dispozici u textů k přednášce. Cvičení č. 6 Úterní kruh - 7.11.2017: Poznámky o indexu bodu ke křivce - Jordanova věta, propichovací věta, index jako winding number. Dále samostatně příklady II/3,4, případně příklady 7 a 8 k pochopení látky ke kapitole III. Páteční kruh - 10.11.2017: Program byl stejný jako v úterý. Přednáška č. 7 - 14.11.2017 Oddíl III.4 (Lokální Cauchyova věta a její důsledky) - do Věty 14 včetně. Poznámka o nalepování byla přeskočena, bude zařazena na cvičení. Cvičení č. 7 Úterní kruh - 14.11.2017: Poznámka o nalepování primitivních funkcí, aplikace na podmnožiny mezikruží (příklad 9 ke kapitole III), dále příklad II/5, z toho a1) a a4) bylo předvedeno, zbytek studenti počítali samostatně. Přednáška č. 8 - 21.11.2017 Pokračování oddílu III.4 - od Důsledku Věty 14 do Důsledky Věty 19 včetně. Přitom Důsledek Věty 19 byl jen stručně okomentován, podrobný důkaz je k dispozici u textů k přednáškám. Cvičení č. 8 Úterní kruh - 21.11.2017: Příklady 10(1,2), 12 a 13 ke Kapitole III, dále příklady II/6(a,d),7(a). Doporučení pro domácí počítání: zbytek příkladů II/6,7. Cvičení č. 7 Páteční kruh - 24.11.2017: Poznámka o nalepování primitivních funkcí, aplikace na podmnožiny mezikruží (příklad 9 ke kapitole III), příklad 10(1,2) ke Kapitole III, dále příklad II/5, z toho a1) a a4) bylo předvedeno, zbytek studenti počítali samostatně. Přednáška č. 9 - 28.11.2017 Pokračování oddílu III.4 - od Věty 20 do Věty 23 včetně. Cvičení č. 9 Úterní kruh - 28.11.2017: Příklady 10(3) a 14 ke Kapitole III, dále aplikace věty o jednoznačnosti na funkci Γ - rekurentní vztah, alternativní způsob rozšíření, funkce ζ. Doporučení pro domácí počítání: Příklad 10(3) pro n>2 místo 2. Cvičení č. 8 Páteční kruh - 1.12.2017: Příklady 12, 13, 14 a 10(3) ke Kapitole III, dále příklady II/6(a),7(a). Doporučení pro domácí počítání: zbytek příkladů II/6,7, dále Příklad 10(3) pro n>2 místo 2. Přednáška č. 10 - 5.12.2017 Dokončení oddílu III.4 - Věta 24. Dále oddíl IV.1 (Rozšíření C o ∞, Riemannova sféra) - Věta 1 nebyla dokázána, jen stručně okomentována a vysvětlen geometrický význam. Podrobný důkaz je k dispozici u textů k přednášce. Dále část oddílu IV.2 (Izolované singularity holomorfních funkcí, rezidua) - do Věty 3 včetně. Přitom definice chování funkce v ∞ byla vynechána, bude vysvětlena a ilustrována na cvičení. Cvičení č. 10 Úterní kruh - 5.12.2017: Doplnění důkazu konvergence řady z minulého cvičení, dále příklady III/1-3. Z toho příklady 1(c), 2(b,f) byly předvedeny, další studenti počítali samostatně. Doporučení pro domácí počítání: Zbytek příkladů III/1-3. Cvičení č. 9 Páteční kruh - 8.12.2017: Aplikace věty o jednoznačnosti na funkci Γ - rekurentní vztah, alternativní způsob rozšíření, rezidua, funkce ζ. Dále příklad III/1 - z toho příklad 1(c) byl předveden, další studenti počítali samostatně. Doporučení pro domácí počítání: Zbytek příkladu III/1. Přednáška č. 11 - 12.12.2017 Dokončení oddílu IV.2 - komentář k Větě 4 (důkaz nebyl proveden, je k dispozici u textů k přednášce, body (1)-(3) budou vysvětleny na cvičení. Dále oddíl IV.3 (Limity některých integrálů) - lemmata byla krátce okomentována, důkazy jsou k dispozici u textů k přednášce, lemmata a jejich použití budou vysvětlena na cvičeních. Dále začátek oddílu IV.4 (Laurentovy řady a funkce holomorfní v mezikruží) - do Věty 11 včetně. Přitom Větička 9 nebyla na přednášce dokázána, protože důkaz byl na cvičení (Příklad 9 ke kapitole III). Cvičení č. 11 Úterní kruh - 12.12.2017: Metody výpočtu reziduí, výpočet příkladů II/6(a,d) pomocí reziduové věty, příklady III/5(a, část d), IV/1(a). Doporučení pro domácí počítání: Zbytek příkladu III/4 (tj. příklady II/5,6 podle reziduové věty), zbytek příkladů III/5 a IV/1. Cvičení č. 10 Páteční kruh - 15.12.2017: Metody výpočtu reziduí, příklady III/2-4 (přičemž příklad III/4 spočívá v řešení příkladů II/5,6 pomocí reziduové věty), z toho příklady III/2(b,d),3(f) a II/6(a) byly předvedeny, zbytek studenti počítali samostatně. Doporučení pro domácí počítání: Zbytek příkladů III/2-4. Přednáška č. 12 - 19.12.2017 Dokončení oddílu IV.4 - Věta 12 včetně důkazu, stručná poznámka o Větě 13 (důkaz je téměř stejný jako důkaz Věty 3, jen s využitím znalosti Věty 12; důkaz nebyl proveden, je k dispozici u textů k přednášce). Dále oddíl V.1 (Řetězce a cykly). Důkaz Věty 1 byl proveden, přičemž některé detaily byly vynechány. Podrobný důkaz je k dispozici u textů k přednášce. Cvičení č. 12 Úterní kruh - 19.12.2017: Příklad IV/2(c) - včetně vysvětlení obecné metody, formulace i důkazu Lemmat IV.6 a IV.7, které se při řešení používají. Příklad IV/3(b) (kromě úplného výpočtu reziduí - byl uveden návod, jak příslušnou limitu spočítat). Doporučení pro domácí počítání: Zbytek příkladů IV/2,3. Cvičení č. 11 Páteční kruh - 22.12.2017: Příklady III/5(b),IV/1(a),3(b), včetně vysvětlení obecných metod řešení. V příkladu IV/3(b) nebyla z časových důvodů spočtena rezidua. Doporučení pro domácí počítání: Zbytek příkladů II/5 a IV/1,3. Cvičení č. 12 Páteční kruh - 5.1.2018: Příklad IV/2(d) - včetně vysvětlení obecné metody, formulace i důkazu Lemmat IV.6 a IV.7, které se při řešení používají. Dále funkce πcotg(πz) a π/sin(πz) a jejich vlastnosti. Doporučení pro domácí počítání: Zbytek příkladu IV/2. Přednáška č. 13 - 9.1.2018 Oddíl V.2 (Globální vlastnosti holomorfních funkcí) - do Věty 6 včetně. Cvičení č. 13 Úterní kruh - 9.1.2018: Funkce πcotg(πz) a π/sin(πz) a jejich vlastnosti, dále příklady IV/5(b,d) včetně vysvětlení obecné metody; příklady V/1(b,d,postup řešení pro a). |