Matematika na NF VŠE, LS 2021/22

Matematika A

Všechny přednášky jsou ke stažení zde.

Datum Téma
14.2. Úvodní informace. Jazyk matematiky. Lineární a kvadratické funkce. DU1 DU2
21.2. Funkce kvadratické, kubické, lomené, mocniny a odmocniny. --
28.2. Exponenciála, logaritmus, definiční obory funkcí. Posloupnosti a jejich limity. DU3 DU4
7.3. Výpočet limit. Nekonečné řady. DU5 DU6
14.3. Funkce a jejich limity. DU7
21.3. Derivace funkce. DU8
28.3. L'Hospitalovo pravidlo, monotonie a extrémy funkce. DU9 DU10
4.4. Monotonie, extrémy, asymptoty, konvexita, konkavita. DU11 DU12
11.4. Vyšetření průběhu funkce. DU13 DU14
18.4. Pondělí velikonoční. --
25.4. Průběžný test se píše od 14:30 do 15:50 v RB101, pak od 16:15 normálně pokračuje přednáška, ale pozor, výjimečně v posluchárně NB D.
Funkce více proměnných, soustavy rovnic, parciální derivace.
DU15
2.5. Optimalizační úlohy, volné a vázané extrémy, metoda dosazovací a Lagrangeových multiplikátorů. DU16 DU17
9.5. LM v obecném případě, aplikace v ekonomii a dodatky DU18

 

Minitesty na cvičeních

Datum Číslo týdne Obsah minitestu
22.2. 2 Graf kvadratické funkce (průsečíky s osami, vrchol)
1.3. 3 Graf lineární lomené funkce (průsečíky s osami, střed, asymptoty)
8.3. 4 Definiční obor a znaménko funkce
15.3. 5 Limita posloupnosti
22.3. 6 Limity funkcí v krajních bodech D_f
29.3. 7 Derivace funkcí
5.4. 8 Úlohy s tečnami
12.4. 9 Monotonie funkce
19.4. 10 Konvexita, konkavita
26.4. 11 Asymptoty funkce
3.5. 12 Stacionární body funkce
10.5. 13 Vázané extrémy

 

Obsah průběžného testu

Průběžný test bude obsahovat výběr z těchto témat:
a) graf kvadratické, lineární lomené funkce,
b) limita posloupnosti a funkce,
c) derivace (složitější) funkce,
d) úlohy s tečnami ke grafu (lehké) funkce,
e) průběh (lehké) funkce, tedy její definiční obor, sudost/lichost, průsečíky s osami, případně jiné význačné hodnoty, znaménko funkce, limity v krajních bodech D_f, intervaly monotonie, lokální a globální extrémy, obor hodnot, asymptoty, oblasti konvexity/konkavity včetně inflexních bodů, graf funkce.

Obsah závěrečného testu

Závěrečný test bude obsahovat výběr z těchto témat (nejvíce bodů bude za úlohy typu e) a f) ):
a) graf kvadratické, lineární lomené funkce,
b) limita posloupnosti a funkce,
c) derivace funkce,
d) úlohy s tečnami ke grafu funkce,
e) průběh funkce, tedy její definiční obor, sudost/lichost, průsečíky s osami, případně jiné význačné hodnoty, znaménko funkce, limity v krajních bodech D_f, intervaly monotonie, lokální a globální extrémy, obor hodnot, asymptoty, oblasti konvexity/konkavity včetně inflexních bodů, graf funkce,
f) optimalizační úlohy pro funkce dvou proměnných: nakreslení zadané množiny M, nalezení kandidátů na extrém na vnitřku M (parciální derivace, stacionární body), na okraji M (dosazovací metoda, Lagrangeovy multiplikátory, vrcholy množiny), určení maxima, minima a hodnoty lambda.

Další studijní materiály

Kompletní testy z předchozích semestrů (zadání, bez řešení).

Obsah přednášky podrobněji

14.2. Organizační věci. Motivace ke studiu matematiky. I. První setkání s funkcemi. Reálná čísla, intervaly. Množinové a logické operace. Kvantifikátory. Rovnice, nerovnice a grafy jednoduchých funkcí v kartézských souřadnicích: (a) Lineární rovnice a nerovnice, lineární funkce. Význam koeficientů lineární funkce (průsečík s osou y, směrnice přímky, přímka rostoucí/klesající). (b) Kvadratické funkce a rovnice: diskriminant, výpočet kořenů, Vietovy vztahy, graf, význam koeficientů (konvexita, konkavita).

21.2. Výpočet a znázornění vrcholu paraboly (odvození souřadnic doplněním na čtverec a z Vietových vztahů). Kvadratické nerovnice - řešení pomocí grafu a pomocí tabulky. (c) Kubické rovnice a nerovnice (odhadnutí celočíselných kořenů, dělení polynomů), jak asi vypadá graf kubické funkce? (d) Rovnice s racionálními lomenými funkcemi (a řešení nerovnic pomocí tabulky). (e) Lineární lomená funkce, asymptoty a střed hyperboly, posun grafu funkce 1/x. (f) Funkce absolutní hodnota. (g) Mocniny, odmocniny. Mocniny s racionálním exponentem.

28.2. Mocniny s racionálním exponentem. (h) Exponenciála - základní vlastnosti a vzorce. Logaritmus - základní vlastnosti a vzorce. Definiční obory funkcí. II. Posloupnosti a limity. Posloupnosti konečné a nekonečné, posloupnost aritmetická, geometrická. Konečná a nekonečná limita posloupnosti, pojem konvergence/divergence, základní příklady. Limita aritmetické a geometrické posl.

7.3. Aritmetika limit (= Věta o limitě součtu, rozdílu, součinu a podílu), rozšířené operace s limitami (tj. i s nekonečnými). Výpočet limit posloupností, početní finta č.1 (vytknutí členů s nejvyššími mocninami), též pro neceločíselné mocniny, vytýkání zpod odmocniny. Finta č.2 (vytknutí exponenciál s nejvyššími základy). Finta č.3 (odečtení odmocnin pomocí rozšíření výrazem s opačným znaménkem). Zavedení Eulerova čísla a exponenciály pomocí limit jistých posloupností. Ekonomický význam Eulerova čísla. Řady konečné a nekonečné, příklady - zejména geometrická řada. Zavedení Eulerova čísla a exponenciály pomocí jistých nekonečných řad.

14.3. III. Funkce jedné proměnné. Pojem funkce = funkční předpis + definiční obor. Obor hodnot. Pojem prostá funkce, inverzní funkce a jak vznikne její graf z původní funkce. Graf k-té mocniny a odmocniny, exponenciály a logaritmu s přirozeným a s obecným základem. Pojem složená funkce, spojitost funkce. Limita funkce, jednostranné limity, základní příklady s limitami. Výpočet limity funkce: věta o limitě součtu, rozdílu, součinu a podílu, věta o limitě složené funkce. Rozlišení podle polohy bodu x_0 vzhledem k D_f: 1. v bodě v D_f spojité funkce je limita rovna funkční hodnotě, 2. v krajním bodě D_f - 2a. je-li bodem x_0 (plus minus) nekonečno, používáme analogické postupy jako u limit posloupností s opatrností ohledně znamének. Je-li bod x_0 konečné číslo: výpočet limity typu a/0 pomocí tzv. "dělení kladnou a zápornou nulou".

21.3. Dělení kladnou a zápornou nulou. Limity exponenciály a logaritmu v krajních bodech. Derivace funkce: zavedení a výpočet z definice. Derivace základních funkcí. Pravidla pro derivaci součtu, rozdílu, součinu a podílu, a pro derivaci složené funkce, příklady. Význam derivace funkce v bodě jako směrnice příslušné tečny, výpočet rovnice tečny v daném bodě.

28.3. Nekonečná derivace, jednostranné derivace, absolutní hodnota jako příklad funkce, která nemá v 0 derivaci. L'Hospitalovo pravidlo (=Finta č. 4) pro výpočet limity posloupnosti typu 0/0, nekonečno/nekonečno a jeho užití v příkladech (zejména limity kombinací exp a log s mocninami). Monotonie funkce (funkce rostoucí, klesající, nerostoucí, neklesající v intervalu). Lokální a globální extrémy. Stacionární body. Vztah mezi znaménkem derivace a monotonií funkce.

4.4. Výjimečné (podezřelé) body = kandidáti na extrém. Zjištění monotonie mezi dvěma výjimečnými body. Příklady na výpočet monotonie a extrémů. Funkce sudé a liché. Asymptoty: svislé v bodě, obecné v plus minus nekonečnu, jak poznat vodorovnou asymptotu z limity funkce v nekonečnu, výpočet obecných (šikmých) asymptot v nekonečnu. Konvexita - konkavita, druhá derivace. Přehled dílčích kroků při vyšetření průběhu funkce (Desatero).

11.4. Příklady vyšetření průběhu funkce. Souvislost lok. extrémů a druhé derivace funkce.

25.4. IV. Funkce více proměnných. Soustavy lineárních rovnic 2x2. Rovnice přímky, rovnice kružnice, soustavy nelineárních rovnic. Parciální derivace, stacionární bod funkce. Optimalizační úlohy aneb Hledání globálních extrémů funkce na kompaktní množině: Pojem kompaktní množiny, vnitřek a okraj množiny.

2.5. Weierstrassova věta, obecné schéma řešení optimalizační úlohy. Kandidáti ve vnitřku množiny = stacionární body funkce. Rozlišení metod hledání vázaných extrémů podle typu okraje (pro funkce dvou proměnných): (A) dosazovací metoda - na mnohoúhelníku a na množinách s polynomiálními vazbami. Speciální případ lineární funkce -- nemá stacionární body. (B) Metoda Lagrangeových multiplikátorů. Příklady na dosazovací metodu i metodu LM.

9.5. LM pro více proměnných a více vazeb. Aplikace na typické úlohy v ekonomii, význam multiplikátoru lambda. Pojem mezní veličiny. Diferenciál a totální diferenciál. Taylorovy polynomy a přibližné výpočty pomocí nich. Implicitní funcke a její derivace. Elasticita. Homogenita funkce.