Matematika na NF VŠE, ZS 2021/22

Matematika A

Datum Téma
20.9. Úvodní informace. Jazyk matematiky DU1
22.9. Lineární a kvadratické funkce DU2
27.9. Vrchol paraboly, kubické funkce --
29.9. Lomené funkce, mocniny --
4.10. Odmocniny, exponenciála, logaritmus DU3
6.10. Posloupnosti a limity DU4
11.10. Výpočet limit DU5
13.10. Limity, číslo e, řady DU6
18.10. Grafy inverzních funkcí --
20.10. Limity funkci I --
25.10. Limity funkcí II DU7
27.10. Derivace DU8
1.11. Výpočet tečny DU9
3.11. l'Hospitalovo pravidlo DU10
8.11. Derivace a monotonie DU11
10.11. Fce sudé a liché, asymptoty, konvexita/konkavita DU12
15.11. Vyšetření průběhu funkce DU13
17.11. Státní svátek --
22.11. Vyšetření průběhu funkce II DU14
24.11. Průběžný test - 1. termín Obsah průběžného testu --
29.11. Průběžný test - 2. termín --
1.12. Parciální derivace, stacionární body
6.12.
8.12.
13.12.
15.12.

Minitesty na cvičeních

Datum Číslo týdne Obsah minitestu
5.10. 3 Graf kvadratické funkce (průsečíky s osami, vrchol)
12.10. 4 Graf lineární lomené funkce (průsečíky s osami, střed, asymptoty)
19.10. 5 Definiční obor a znaménko funkce
26.10. 6 Limita posloupnosti
2.11. 7 Limity funkcí v krajních bodech D_f
9.11. 8 Derivace funkcí
16.11. 9 Úlohy s tečnami
23.11. 10 Monotonie funkce
30.11. 11 Asymptoty funkce
7.12. 12 Stacionární body funkce
14.12. 13

Obsah průběžného testu

Průběžný test bude obsahovat výběr z těchto témat:
a) graf kvadratické, lineární lomené funkce,
b) limita posloupnosti a funkce,
c) derivace (složitější) funkce,
d) úlohy s tečnami ke grafu (lehké) funkce,
e) průběh (lehké) funkce, tedy její definiční obor, sudost/lichost, průsečíky s osami, případně jiné význačné hodnoty, znaménko funkce, limity v krajních bodech D_f, intervaly monotonie, lokální a globální extrémy, obor hodnot, asymptoty, oblasti konvexity/konkavity včetně inflexních bodů, graf funkce.

Vzorové řešení varianta A, varianta B.

Obsah přednášky podrobněji

20.9. Organizační věci. Motivace ke studiu matematiky. I. První setkání s funkcemi. Reálná čísla, intervaly. Množinové a logické operace.

22.9. Kvantifikátory. Rovnice, nerovnice a grafy jednoduchých funkcí v kartézských souřadnicích: (a) Lineární rovnice a nerovnice, lineární funkce. Význam koeficientů lineární funkce (průsečík s osou y, směrnice přímky, přímka rostoucí/klesající). (b) Kvadratické funkce a rovnice diskriminant, výpočet kořenů, Vietovy vztahy, graf, význam koeficientů (konvexita, konkavita).

27.9. Výpočet a znázornění vrcholu paraboly (odvození souřadnic doplněním na čtverec a z Vietových vztahů). Kvadratické nerovnice - řešení pomocí grafu a pomocí tabulky. (c) Kubické rovnice a nerovnice (odhadnutí celočíselných kořenů, dělení polynomů), jak asi vypadá graf kubické funkce?

29.9. (d) Rovnice s racionálními lomenými funkcemi (a řešení nerovnic pomocí tabulky). (e) Lineární lomená funkce, asymptoty a střed hyperboly, posun grafu funkce 1/x. (f) Funkce absolutní hodnota. (g) Mocniny.

4.10. Odmocniny, mocniny s racionálním exponentem. h) Exponenciála - základní vlastnosti a vzorce. Logaritmus - základní vlastnosti a vzorce.

6.10. Definiční obory funkcí. II. Posloupnosti a limity. Posloupnosti konečné a nekonečné, posloupnost aritmetická, geometrická. Konečná a nekonečná limita posloupnosti, pojem konvergence/divergence, základní příklady. Limita aritmetické a geometrické posl.

11.10. Aritmetika limit (= Věta o limitě součtu, rozdílu, součinu a podílu), rozšířené operace s limitami (tj. i s nekonečnými), příklady na výpočet limit. Výpočet limit posloupností, početní finta č.1 (vytknutí členů s nejvyššími mocninami), též pro neceločíselné mocniny, vytýkání zpod odmocniny.

13.10. Finta č.2 (vytknutí exponenciál s nejvyššími základy). Finta č.3 (odečtení odmocnin pomocí rozšíření výrazem s opačným znaménkem). Zavedení Eulerova čísla a exponenciály pomocí limit jistých posloupností. Ekonomický význam Eulerova čísla. Řady konečné a nekonečné, příklady - zejména geometrická řada. Zavedení Eulerova čísla a exponenciály pomocí jistých nekonečných řad.

18.10. III. Funkce jedné proměnné. Pojem funkce = funkční předpis + definiční obor. Obor hodnot. Pojem prostá funkce, inverzní funkce a jak vznikne její graf z původní funkce. Graf k-té mocniny a odmocniny, exponenciály a logaritmu s přirozeným a s obecným základem.

20.10. Pojem složená funkce, spojitost funkce. Limita funkce, jednostranné limity, základní příklady s limitami. Výpočet limity funkce: věta o limitě součtu, rozdílu, součinu a podílu, věta o limitě složené funkce. Rozlišení podle polohy bodu x_0 vzhledem k D_f: 1. v bodě v D_f spojité funkce je limita rovna funkční hodnotě, 2. v krajním bodě D_f - 2a. je-li bodem x_0 (plus minus) nekonečno, používáme analogické postupy jako u limit posloupností s opatrností ohledně znamének.

25.10. Je-li bod x_0 konečné číslo: výpočet limity typu a/0 pomocí tzv. "dělení kladnou a zápornou nulou". Limity exponenciály a logaritmu v krajních bodech. Derivace funkce: zavedení a výpočet z definice.

27.10. Derivace základních funkcí. Pravidla pro derivaci součtu, rozdílu, součinu a podílu, a pro derivaci složené funkce, příklady.

1.11. Význam derivace funkce v bodě jako směrnice příslušné tečny, výpočet rovnice tečny v daném bodě. Nekonečná derivace, jednostranné derivace, absolutní hodnota jako příklad funkce, která nemá v 0 derivaci.

3.11. L'Hospitalovo pravidlo (=Finta č. 4) pro výpočet limity posloupnosti typu 0/0, nekonečno/nekonečno a jeho užití v příkladech (zejména limity kombinací exp a log s mocninami). Monotonie funkce (funkce rostoucí, klesající, nerostoucí, neklesající v intervalu). Lokální a globální extrémy.

8.11. Stacionární body. Vztah mezi znaménkem derivace a monotonií funkce. Výjimečné (podezřelé) body = kandidáti na extrém. Zjištění monotonie mezi dvěma výjimečnými body. Příklady na výpočet monotonie a extrémů.

10.11. Funkce sudé a liché. Asymptoty: svislé v bodě, obecné v plus minus nekonečnu, jak poznat vodorovnou asymptotu z limity funkce v nekonečnu, výpočet obecných (šikmých) asymptot v nekonečnu. Konvexita - konkavita, druhá derivace.

15.11. Přehled dílčích kroků při vyšetření průběhu funkce (Desatero). Vyšetření průběhu funkce -- příklady. Souvislost lok. extrémů a druhé derivace funkce.

22.11. Další příklady vyšetření průběhu funkce.

1.12. IV. Funkce více proměnných. Soustavy lineárních rovnic 2x2. Rovnice přímky, rovnice kružnice, soustavy nelineárních rovnic. Parciální derivace, stacionární bod funkce. Hledání globálních extrémů funkce na kompaktní množině: Pojem kompaktní množiny, vnitřek a okraj množiny, Weierstrassova věta.