Cvičení, 2. ročník, letní semestr 2023/2024
Fourierovy řady, komplexní analýza, Fourierova transformace, distribuce.
Matematika pro fyziky 2 - cvičení
- Kdy a kde: Pátek 9:50 - 11:20, K9 (Karlín).
- Během cvičení můžete získat až 25 bodů, přičemž až 18 za písemky (budeme psát tři) a 7 za aktivitu na cvičení.
- Pro zápočet, který je nutný ke zkoušce, je nutné získat alespoň 13 bodů.
- Body za aktivitu můžete získat třemi způsoby:
- Dobrým vyřešením předem připraveného příkladu během cvičení
- Vyřešením zapsaného dobrovolného domácího úkolu. Každý domácí úkol přidá body za aktivitu navíc k tomu, co byste dostali bez nich.
- Doporučuji zúčastnit se všech cvičení, ale docházka není nutná. Doporučuji také propočítat si cvičebnici Kopáček a kol. pro 4. semestr.
- Po osobní domluvě jsou možné individuální konzultace
Příklady na cvičení
- 23.2. Trigonometrické Fourierovy řady.
Dezert: Fourierův rozklad ptáků a Gibbsův jev. - 1.3. Trigonometrické Fourierovy řady (zadání, řešení). Fourierova metoda řešení PDR (poznámky).
- 8.3. Písemka na Fourierovy řady. Abstraktní Fourierovy řady (Legendreovy polynomy a jejich aplikace )
- 15.3. Komplexní čísla
- 22.3. Laurentovy řady
- 5.4. Integrace v komlexní rovině
- 12.4. Integrace v komlexní rovině (viz Teams)
- 19.4. Fourierova transformace
- 26.4. Distribuce
- 3.5. Distribuce. 2. písemka (Fourierova transformace a residuová věta)
- 10.5. Distribuce
- 17.5. 3. Písemka (distribuce). Distribuce
- 24.5. Distribuce a opakování.
Domácí úkoly
- Voyager (Ellipsoid nebula encounter; 7 bodů): Homogenní rotační elipsoid o konstantní hustotě hmotnosti \(\rho\) a poloosách \(a>b=c\) je umístěn v počátku souřadnic, osa \(z\) splývá s osou symetrie.
- Ukažte, že v rozvoji potenciálu do Legendreových polynomů vystupují pouze členy se sudým \(l\).
- Ukažte, že pohyb hmotného bodu v gravitačním poli elipsoidu obecně není rovinný (ukažte, že moment hybnosti obecně není integrálem pohybu).
- Ukažte, že pohyb v rovině rovníku je sice rovinný, ale trajektorie není elipsa. (Při malém zploštění elipsoidu představuje trajektorie elipsu, jejíž hlavní osa se otáčí.)
- Firefly (Flow of dust particles around a can lost in space; 4 body): Nestlačitelná tekutina vyplňuje rovinu \((x,y)\) kromě kruhu o poloměru \(a\) se středem v počátku. V nekonečnu je proudění rovnoběžné, tj. \(v_x\rightarrow U_\infty, v_y \rightarrow 0\) pro \(r=\sqrt{x^2+y^2}\rightarrow \infty\). Najděte komplexní potenciál popisující toto proudění a načrtněte proudnice (čáry, ke kterým je rychlostní pole tečné, tedy znázorňující proudění).
Hint: viz Kopáček IV, příklad 595 a předchozí. - Baby Yoda (3 body): Říká se, že Yoda odhalil tajemství Síly, která zůstavá pro většinu lidí ryze imaginární, důkladným trénikem v komplexní rovině. Jako 3. domácí úkol tedy prosím spočtěte nějaký příklad ze sady Residuová věta IV. Můžete jich spočítat i více za více bodů.