Posloupnosti a řady

Speciální posloupnosti

Různých druhů posloupností je mnoho. V této kapitole se blíže seznámíme se dvěma speciálními typy posloupností. Budou to aritmetické posloupnosti a geometrické posloupnosti.

Aritmetická posloupnost

Definice

Posloupnost $(a_n)$ se nazývá aritmetická právě tehdy, když

$\exists d \in R \; \forall n \in N$ platí

$a_{n+1} = a_n + d$

Číslo

$d$ se nazývá diference aritmetické posloupnosti.

Obr. 4.1: Graf aritmetické posloupnosti

Posloupnosti jsou speciálním typem funkcí. Aritmetická posloupnost je "odvozená" od lineární funkce. Každou lineární funkci lze zapsat ve tvaru

$y = k \cdot x + q$

a každou aritmetickou posloupnost zase můžeme zapsat ve tvaru

$a_n = d(n - 1) + a_1$
$a_n = d \cdot n + (a_1 - d)$

... a to je právě tehdy, když každý člen posloupnosti (kromě prvního) je aritmetickým průměrem "svých sousedů".
$\forall n \in N - \{1\}$ platí $a_n = {{a_{n-1} + a_{n+1}} \over 2}$

Příklady

$\{-1, 1, 3, 5, 7, \ldots \} \longrightarrow$ diference

$d = 2$

$a_n = -5n - 13 \longrightarrow$ diference

$d = -5$

$a_n = -5n - 13$
$a_{n+1} = -5(n+1) - 13$
$a_{n+1} - a_n = [ -5(n+1) - 13 ] - (-5n - 13) = -5$
Rozdíl každých dvou sousedních členů je tedy $-5$

$a_n = a_{n-1} + 0,1$ ,

$a_1 = 1 \longrightarrow$ diference

$d = 0,1$

Vlastnosti aritmetických posloupností

monotónnost

rostoucí $\Leftrightarrow d \gt 0$
klesající $\Leftrightarrow d \lt 0$

omezenost

shora omezená $\Leftrightarrow d \lt 0$
zdola omezená $\Leftrightarrow d \gt 0$
omezená $\Leftrightarrow d = 0$

Příklady

$\{-1, 1, 3, 5, 7, \ldots \} \longrightarrow$ diference

$d = 2$ , rostoucí, zdola omezená

$a_n = -5n - 13 \longrightarrow$ diference

$d = -5$ , klesající, shora omezená

$a_n = a_{n-1} + 0,1$ ,

$a_1 = 1 \longrightarrow$ diference

$d = 0,1$ , rostoucí, zdola omezená

Vztahy platící pro aritmetické posloupnosti

Věta

Nechť

$(a_n)_{n=1}^{\infty}$ je aritmetická posloupnost s prvním členem

$a_1$ a diferencí

$d$ , potom platí

$a_n = a_1 + (n-1)d$

zobraz důkaz

Důkaz matematickou indukcí:

1.

$n = 1$

$a_1 = a_1 + (1 - 1)d$

2.

$n = k$

$a_k = a_1 + (k - 1)d$

$a_{k+1} = a_1 + (k + 1 - 1)d$

$a_{k+1} = a_1 + kd \longrightarrow$ k tomuto chceme dospět

z definice:

$a_{k+1} = a_k + d$
induk. před:

$a_{k+1} = a_1 + (k-1)d + d = a_1 + kd$

Věta

Nechť

$(a_n)_{n=1}^{\infty}$ je aritmetická posloupnost s prvním členem

$a_1$ a diferencí

$d$ , potom pro součet

$s_n$ , prvních

$n$ členů této aritmetické posloupnosti platí

$s_n = {n \over 2} (a_1 + a_n)$

zobraz důkaz

$s_n = a_1 + a_2 + a_3 + \ldots + a_n$

tento součet si přepíšeme dvěma způsoby ...

$s_n = a_1 + (a_1 + d) + (a_1 + 2d) + (a_1 + 3d) + \ldots + (a_1 + (n-1)d)$

$s_n = (a_1 + (n-1)d) + (a_1+(n-2)d) + (a_1 + (n-3)d) + \ldots + (a_1 + d) + a_1$

... a oba řádky sečteme ...

$2s_n = (2a_1 + (n-1)d) + (2a_1 + (n-1)d) + \ldots + (2a_1 + (n-1)d)$

... a už jen upravit ...

$2s_n = n(a_1 + a_1 + (n-1)d) = n(a_1 + a_n)$

$s_n = {n \over 2}(a_1 + a_n)$

Speciální posloupnosti

Aritmetická posloupnost

Vlastnosti aritmetických posloupností

Vztahy platící pro aritmetické posloupnosti

Titulní stránka

Úvod

Definice

Zadání

Vlastnosti

Speciální posloupnosti

Limita

Řady

Rejstřík