Úvodní kurz z matematiky
jako součást Seznamovacího týdne
pro nastupující posluchače 1. ročníku MFF UKPraha, 21.-24.9.2020
Aktualizováno 23.9.2020, 23:05
Vzhledem ke stálému zhoršování hygienické situace je kurz pouze distanční. Sledujte jej na některé z těcho adres:
https://www.mff.cuni.cz/cs/verejnost/multimedia/impakt-stream
http://www.studuj-matfyz.cz/streamNa uvedených stránkách jsou také odkazy na nahrávky jak z besed tak tohoto kurzu
Časový rozvrh kurzu
Kurz vedou pracovníci MFF UK, a sice Doc. RNDr. Mirko Rokyta, CSc. (organizátor kurzu - kvůli jeho úrazu však jednu jeho přednášku přebíral kolega a druhá byla zrušena), Doc. RNDr. Antonín Slavík, Ph.D., Doc. RNDr. Zbyněk Šír, Ph.D., a Mgr. Dalibor Šmíd, Ph.D., a to podle níže uvedeného rozvrhu.
ZÁZNAM JIŽ PROBĚHLÝCH PŘEDNÁŠEK KURZU NA YOUTUBE ZDE
Pondělí, 21. září 2020 8:45-10:30 A. Slavík Kombinatorika: Prezentace Úlohy i s řešením 10:45-12:30 D. Šmíd Rovnice a nerovnice: Prezentace Úlohy Řešení úloh Úterý, 22. září 2020 8:45-10:30 D. Šmíd Posloupnosti, důkazy: Prezentace (posloupnosti) Úlohy (posloupnosti) Prezentace (důkazy) Úlohy (důkazy) 10:45-12:30 Z. Šír Analytická geometrie: Úlohy Středa, 23. září 2020 8:45-10:30 Z. Šír Trigonometrie: Úlohy 10:45-12:30 M. Rokyta -> Z. Šír Komplexní čísla: Úlohy Zrušená přednáška M. Rokyta -> ZRUŠENO Elementární funkce: Úlohy Grafy některých funkcí
Co po kurzu?
Po tomto kurzu, který je určen jak pro studenty programu matematika, tak fyzika ci informatika (a samozřejmě i učitelství) je ještě možnost se účastnit speciálního jeden a půl denního kurzu z matematických metod fyziky, určeného zejména pro studenty fyziky. Veškerá látka, probíraná na kurzu matematických metod fyziky bude však součastí standardní výuky matematiky všech studijních programů v prvním ročníku. Zdá se však, že zejména studenti fyziky občas potřebují znát některé matematické pojmy trochu dříve, než na ně v přednáškách matematiky přijde řada - proto tedy tento druhý kurz.A poté už začne normální výuka na MFF UK. Pokud však máte pocit, že byste rádi i v průběhu semestru navštěvovali nějaký seminář, na kterém budou dále pilovány vaše středoškolské (početní i jiné) dovednosti, pak zvažte účast v nepovinném předmětu Matematický proseminář, viz jeho popis ve studijním informačním systému - SIS, MFF UK. Na informatické sekci mají podobnou roli nepovinné předměty Matematické (viz jeho popis v SIS) a Počítačové dovednosti (viz jeho popis v SIS).
Podrobněji k obsahu kurzu
- Rovnice a nerovnice v reálném oboru
Cílem tohoto tématu je připomenout metody řešení rovnic a nerovnic, a to lineárních a kvadratických, s parametry i bez, s absolutní hodnotou i bez. Důraz bude kladen zejména na geometrickou interpretaci a představivost.Bodový scénář:
- Lineární rovnice s parametrem
- Rovnice a nerovnice s absolutní hodnotou
- Kvadratická rovnice a nerovnice, i s absolutní hodnotou
- Grafické řešení rovnic a nerovnic
- Analytická geometrie
Cílem tématu je základní orientace v geometrické interpretaci množin bodů vyhovujících algebraickému vztahu, zejména půjde o tyto objekty: přímka, rovnoběžná přímka, mimoběžné přímky v prostoru, rovina, rovnoběžná rovina, parametrizace přímek a rovin. Dále rozpoznání kuželoseček (kružnice, elipsa, parabola, hyperbola) v základním (neotočeném) postavení v rovině, různé způsoby jejich zápisu, spuštění tečny z vnějšího bodu atd. Bodový scénář:
- Přímka v rovině: rovnice, parametrické vyjádření, směrnicový a úsekový tvar rovnice přímky, vzájemná poloha dvou přímek, vzdálenost bodu od přímky
- Přímka a rovina v prostoru: parametrické vyjádření, rovnice roviny, roviny rovnoběžné a kolmé, vzájemná poloha přímky a roviny, vzdálenost bodů, přímek, rovin
- Rovnice kružnice v rovině a její tečny, rovnice kuželosečky v rovině a její tečny
- Kombinatorika
Budou připomenuty metody řešení kombinatorických úloh a zopakovány vzorce pro počet variací, permutací a kombinací. Zmíníme se také o některých vlastnostech kombinačních čísel a binomické větě.Bodový scénář:
- Základní kombinatorická pravidla
- Variace, permutace a kombinace bez opakování a s opakováním
- Faktoriály a kombinační čísla, Pascalův trojúhelník
- Binomická věta
- Elementární funkce
Půjde o připomenutí základních vztahů a získání citu pro náčrt grafů základních elementárních funkcí a funkcí, které jsou od nich jednoduše odvozeny (součty a součiny, škálování argumentů, inverzní funkce, atd.)Bodový scénář:
- Mocniny a odmocniny: grafy a elementární pozorování
- Polynomy
- Jednotková kružnice, sinus, kosinus, tangens, kotangens, grafy, inverzní funkce
- Exponenciela a logaritmus, grafy, základní vztahy
- Trigonometrie
Opakovací téma má podrobněji připomenout základní vlastností funkcí sinus, kosinus, tangens, kotangens, součtové vzorce, sinovou a kosinovou větu, dále řešení trigonometrických rovnic.Bodový scénář:
- Základní goniometrické funkce a vztahy mezi nimi, součtové vzorce
- Sinová a kosinová věta, vzorce pro obsah trojúhelníku
- Trigonometrické rovnice a jejich řešení
- Posloupnosti reálných čísel
Důraz bude kladen na posloupnosti aritmetické a geometrické, vzorce pro n-tý člen, vzorce pro součet, intuitivní odvození vzorce pro součet nekonečné geometrické řady (s pojmem limita bude pracováno intuitivně). Zmínka o explicitním a rekurentním zadání posloupnosti (Fibonacciho posloupnost).Bodový scénář:
- Rekurentně a explicitně zadaná posloupnost
- Aritmetická posloupnost, vzorec pro součet prvních n členů
- Geometrická posloupnost, vzorec pro součet prvních n členů
- Součet (nekonečné) geometrické řady
- Matematická indukce, základní typy matematických důkazů
- Komplexní čísla
Důraz bude kladen na základní aritmetické dovednosti s komplexními čísly, získání náhledu na geometrickou interpretaci algebraických operací s komplexními čísly, řešení kvadratických rovnic v komplexním oboru a řešení rovnic tvaru xn=a (binomických rovnic).Bodový scénář:
- Motivace, odmocňování záporných čísel, Gaussova rovina, komplexní číslo
- Operace s komplexními čísly, algebraický a geometrický zápis, absolutní hodnota
- Moivreův vzorec
- Kvadratická rovnice a její (komplexní) řešení, řešení binomické rovnice
Jakékoliv dotazy směřujte na M. Rokytu, email: mirko.rokyta (at) mff.cuni.cz.
M.Rokyta