Odpovědi na otázky položené v 1. kvízu v Lineární algebře 1.

Zde najdete odpovědi na dotazy z kvízu. Je možné, že byly přeřazeny z jedné kategorie do druhé nebo že je v seznamu odpověď na velice podobný dotaz někoho jiného.

Matematické dotazy

Prosím o vysvětlení tématu .../nerozumím důkazu .../moc jsem ze skript nepochopil(a) ...
Sešlo se několik obecných dotazů tohoto typu. Obraťte se, prosím, s konkrétním dotazem přímo na svého/svoji cvičící nebo na přednášejícího. Je možné domluvit i individuální konzultace. Pokud se to týká zobrazení, ta budou hlavním tématem cvičení ve 2. týdnu.
Neviem, či bude k dispozícií aj nejaký podrobnejší rozbor z kvízov, ale napríklad k otázke 3 by som takéto niečo určite ocenil.
U otázky 3 bylo správně "Ke každému kořenu polynomu s reálnými koeficienty existuje kořen téhož polynomu, který je k původnímu kořenu komplexně sdružený". Dosti sváděla i možnost "Každý polynom s komplexními koeficienty má alespoň jeden komplexní kořen", ale ta nebyla správně. Narozdíl od věty 1.9 ve skriptech tam totiž chybělo, že polynom musí být nekonstantní. Kdyby např f(x)=1 pro každé x, pak žádný kořen nemáme.
Pokud tedy invertibilitu chápu správně. Zobrazení je invertibilní zleva, pokud je f zobrazení prosté. Invertibilní zprava, pokud je f zobrazení "na", a oboustranně invertibilní je tehdy, pokud je bijektivní, tzn. zároveň prosté i "na".
Ano, to souhlasí (ve skriptech je termín "invertovatelné", ale tady žádné nedorozumění nehrozí).
Moc nechápu ty inverze. To, jaký je mezi nimi rozdíl (zleva, zprava) a i celkově, v jakých příkladech by se mi to mohlo hodit.
Vysvětlují to tvrzení 1.35 a 1.38 ve skriptech. Nejlépe si to otestovat na příkladech zobrazení, která jsou prostá, ale ne na nebo naopak, a k nim si zkusit najít nějaké levé nebo pravé inverze. Zobrazení a pojmy kolem nich budou náplní cvičení ve 2. týdnu.
Zajímalo by mě, jestli je např. nějaký hlubší důvod proč se říká inverze zprava a zleva.
Zleva a zprava se odkazuje k tomu, kam se inverze píše. Aby mělo f: X → Y levou inverzi, musí existovat g: Y → X takové, že g∘f = idX (tj. g je vlevo od f). Podobně u inverzí zprava.
Prosila bych vysvětlit, proč f(x) = |x| není "na". Děkuji moc!
Je potřeba pořádně zapsat, odkud kam zobrazení f uvažujeme. Pokud uvažujeme f: ℝ→ℝ, pak není na, protože např. není žádné reálné číslo x takové, aby f(x) = -1. Pokud bychom ale uvažovali f jako zobrazení f: ℝ→⟨0,∞), pak už na je.
Chtěl bych se pouze ujistit, že jsem dobře pochopil inverzní zobrazení. Inverzní zobrazení chápu tak, že je zobrazení invertovatelné zleva i zprava zároveň. Tak jako je to například u omezenosti posloupností? Posloupnost je omezená právě tehdy, když je omezená shora i zdola. Funguje to tedy na stejném principu? Děkuji moc za prostor k položení otázky.
Ano, funguje to tak a mluví o tom tvrzení 1.37 ve skriptech. Je totiž potřeba ukázat, že pokud zobrazení má jak levou, tak pravou inverzi, pak jsou tyto jednostranné inverze už nutně stejné.
Mám dvě množiny X a Y, prvky y jsou obrazem prvků x. Zobrazení může být 1)PROSTÉ (různým bodům x přiřadím různé body y) 2)NA (musíme obsadit všechny body y) 3)BIJEKTIVNÍ (prosté i na, tzn pro každé x máme jedno y, zároven obsadíme všechna y). Co potom značí, když vezmu nějaké (ne všechny) body x a k nim přiřadím body y tak, že neobsadím všechny body y a zároveň jeden prvek y může být obrazem vícero prvků x ? Doufám, že jsem to vysvětlila celkem srozumitelně... v hlavě mám obrazek dvou množin X a Y, vybavím si surjektivní zobrazení, ALE v množině Y se objeví nějaké neobsazené prvky y. Existuje vůbec takové zobrazení? Nebo spadá pod injektivní zobrazení?
Pokud "neobsadíte" všechny body X, nepůjde o zobrazení. Zobrazení musí z definice každému bodu x∈X přiřadit právě jeden bod y∈Y. V tom případě by šlo jen o tzv. relaci (vizte Diskrétní matematiku). Jinak je samozřejmě hodně zobrazení, která nejsou ani prostá ani na (např. f: {0,1} → {0,1}, f(0)=0, f(1)=0). Pak jednoduše nemají žádný z těch přívlastků.
Stále úplne nerozumiem ako je to s iverziou z lava a z prava, viem kedy nastáva ale sama si to neviem predstaviť na príklade. Dalo by sa povedať, že je to tým, že prosté zobrazenie kde ideme X→Y má využité všetky prvky z množiny X ale z množiny Y nemá všetky prvky priradené tak vieme spraviť inverziu z lava a nie z prava keďže z množiny Y nemajú všetky prvky svoj obraz v X ?
Pokud se vrátíme k obrázkům z přednášky pro nějaké zobrazení f: X→ Y, pak
  • z každého x∈X musí podle definice zobrazení vždy vést přesně jedna šipka (do bodu f(x)∈Y),
  • f je prosté, pokud do každého y∈Y vede nejvýše jedna šipka,
  • f je na, pokud do každého y∈Y vede alespoň jedna šipka.
Pro pochopení inverzí zleva a zprava je nejlepší vyzkoušet si je najít pro konkrétní příklady zobrazení mezi konečnými množinami, které jsou prosté, ale nejsou na nebo naopak. Zobrazení a věci kolem nich budou také hlavním tématem cvičení ve 2. týdnu.
Chtěl bych nějakou (obrázkovou) ukázku inverzního zobrazení zprava/zleva - mám to pouze namemorované, ale nedokážu si to vizuálně představit - chtěl bych tohle lépe pochopit. :)
Vojelte cvičícímu :) Příkladem jsou třeba zobrazení f: ℕ→ℕ, f(n)=2n a g: ℕ→ℕ, g(n) = ⌈n/2⌉ (horní celá část). Pak g∘f=idℕ, tj. g je levá inverze k f a f je pravá inverze ke g, ale bijekce není ani jedno ze zobrazení (obrázek si snadněji nakreslíte Vy).
Rád bych se více věnoval zavedení funkce jako jakési operace. Myslím si, že jsme si úplně nedefinovali, co to funkce přesně je a jak se s ní může zacházet v důkazech. Mám však takové tušení, že takovou látku budeme dělat na předmětu Diskrétní matematika. Nejsem si však úplně jistý.
Funkce je v podstatě totéž, co zobrazení. Tradičně se funkce říká zobrazení f:X→Y, kde Y je množina čísel (přirozených, celých, racionálních, reálných, komplexních). Někteří říkají funkce všem zobrazením. Formálně se zobrazeními/funkcemi bude opravdu více zabývat Diskrétní matematika.
Nepochopila som, ako sa vypočitaju súradnice bodu rotáciou o 30o. f ((x, y)) = (x cos 30o - y sin 30o, x sin 30o + y cos 30o) .
To byl jen příklad, pořádně se k tomu teprve dostaneme později, abyste uměli toto odvodit.
Mohl byste prosím vysvětlit Moivreovu větu?
Věta 1.13 ve skriptech říká, jak vypadá n-tá mocnina komplexního čísla, které v komplexní rovině leží na jednotkové kružnici. Pokud takové komplexní číslo z svírá s reálnou osou (osa x) úhel α, pak zn také leží na jednotkové kružnici a svírá s reálnou osou úhel n*α. Celkem ilustrativní je obrázek 1.25 na téže stránce a vůbec diskuze na stránce nad větou.
Je Möbiova páska rovný útvar? (Ve smyslu tvrzení z přednášky: "LA je abstraktní studium rovných útvarů a hezkých zobrazení mezi nimi.")
Ve smyslu lineární algebry není. Pro nás budou rovné jen řešení soustav lineárních rovnic. Pro zajímavost: Möbiova páska je tzv. hladká varieta (anglicky smooth manifold) a těmi se zabývají disciplíny jako geometrie nebo topologie. Z tohoto pohledu je páska opravdu dost rovná - v každém bodě mimo okraj má nulovou tzv. Gaussovu křivost.

Organizační dotazy

Rád bych se zeptal, jak se dozvím, že už byla vyhlášena data midtermů. Děkuji.
Midtermy se budou konat v ohlášené týdny místo úterních přednášek.
2 různé midtermy jsou tentýž test? Tedy pokud se k midtermu přihlásím, vyberu si jeden ze 2 možných termínů? Rozumím tomu správně?
Ne, tak to není. Jde o dva různé testy a ke zkoušce se počítají body z obou.
Chtěla bych se zeptat na organizaci kurzu. Zdali jsem to správně pochopila, na přednáškách budou vysvětlovány jen některé části skript a my se musíme sami doučit a nastudovat si ten zbytek?
Ano, tak je to myšleno. Na přednášce se k vynechaným věcem spíš vrátit nepůjde, ale můžete se ptát na cvičení nebo si domluvit konzultaci.
Bude někde přístupný kompletní seznam všech vět, definic, tvrzení a důkazů, které je potřeba a do jaké míry ovládat ke zkoušce (popř. midtermům)? Děkuji.
Požadavky ke zkoušce budou nejpřesněji specifikovány na této stránce. Formát zkoušky i midtermů je popsán na stránce předmětu. U prvního midtermu bude požadováno vše do kapitoly 4 a u druhého do kapitoly 5 ve skriptech včetně. Obecně byste měli být schopni počítat příklady toho typu jako na cvičení a látce rozumět, tj. v částech označených jako zásadní tvrzením rozumět a být schopni prezentovat jejich důkazy.
Je potrebne na skusky a započty ovladat vsetky vety, definicie a dokazy opisane v skriptach?
Velkou část byste měli, ale některé jsou spíš motivační nebo doplňující a samy o sobě zkoušeny nebudou. Více na průběžně doplňované stránce s požadavky.
Ve skriptech jsou trvzeni 1.32 az 1.39 (Str.33-37) s dukazem. Chci se prosim zeptat, jestli si to mame kazdy z nich cely pochopit a naucit to na zpamet?
Pochopit určitě, učit se nazpaměť ale opravdu není cílem. Dobré pochopení obnáší i schopnost umět důkaz na požádání vysvětlit.
Osobne by som rada na prednáškach privítala keby máme možnosť sa pýtať počas Vášho výkladu, že si vieme zapnúť mikrofón miesto toho, že píšeme do chatu.
Nejsme proti, ale ze zkušenosti se to musí zorganizovat o dost lépe, než by stačilo v prezenční výuce, jinak se vše zvrhne do chaosu. To je bohužel cena toho, že musíme učit distančně. Pokud budete chtít, buď virtuálně zvedněte ruku nebo se o slovo přihlaste přes chat. Je jen třeba počítat s tím, že konverzace bude na záznamu.
Chcem sa spýtať na rozvrhnutie kapitol v semestri... čo všetko si mám pozrieť pred najbližšou hodinou.
To je napsáno v tabulce na stránce předmětu. Ideálně před přednáškou pro přehled projít to, co se má daný týden probírat (pro druhý týden např. kap. 2 o soustavách lineárních rovnic).
Děkuji za jasnou strukturu na moodle a předběžná data o kvízech, midtermech atd. Osobně bych ale více ocenil, kdyby témata přednášky šla stejně jako kapitoly ve skriptech a tomu i odpovídaly příklady na cvičení. (Příklad: V přednášce jsme brali vektory atd. + zobrazení, ve skriptech jsou mezi tím komplexní čísla a ve cvičení jsme stihli jen rovnice přímek a v ukázkovém řešení (1.5) pak byly i matice.)
Cvičení a úkoly budou mít za přednáškami týden zpoždění, abyste měli čas (až se vše zaběhne) látku před nimi co nejvíce pochopit. První kapitola na začátku je rozdělena do dvou týdnů cvičení. Na komplexní čísla bohužel nezbyl na přednášce čas (podrobněji v dalších dotazech). Na matice v příštím týdnu taky dojde, člověk to má po těch letech tak zažité, že si cvičící asi ani neuvědomil, že jste to tak ještě nepsali. Díky za zpětnou vazbu!
Stále mi není úplně jasné, v čem spočívá inverze zprava, resp. zleva. Ani po přečtení skript si nedokážu takovou situaci dobře vizualizovat. Velmi bych proto stál o dovysvětlení těchto pojmů na nadcházející přednášce (v úterý 6. 10. od 10:40).
Na přednášce prostor bohužel nebude, ale cvičení je k tomu určené ideálně.
Poprosil bych o objasnění 3. úlohy (o kořenech polynomů) na příští přednášce.
Na přednášce bohužel prostor nebude. Stručné vysvětlení je v sekci matematických dotazů a můžete se ptát i na cvičení.
U té trojky mám pocit, že jsou mírně přeceněné mé síly. Polynom jsem si ještě našel, kořen polynomu taky, ale komplexně sdružená čísla a další mi přijdou už moc složitá, na střední jsme je nebrali a zde na MFF zatím také ne.
V tom případě bohužel nezbude, než si přečíst kapitolu 1.4 ve skriptech a příp. probrat nejasnosti při příští příležitosti se cvičící(m). Možná toho bylo pro začátek víc. Do příštího semestru se s nimi ale musíte sžít, tam budou opravdu potřeba.
Úloha 3 asi je nevhodná pro tento kvíz, protože jsme ještě neměli polynomy na přednáškách?
Znovu připomínám, že směrodatným zdrojem jsou skripta a požadavky ke všemu testování vycházejí z nich. Polynomy byly momentálně méně prioritní než např. zobrazení a čas přednášek je omezený, proto přečtení kap. 1.4 ve skriptech zůstalo teď na Vás.
Keďže sme sa na strednej škole nevenovali komplexným číslam, by som bola rada keby sme si to vedeli prejsť na prednáške.
Na přednášce bohužel prostor nebude, protože tam čeká hodně dalších témat. Jak je psáno výše, v plné síle budou komplexní čísla potřeba až v dalším semestru. Přečtěte si, prosím, kap. 1.4 ze skript, ptejte se na cvičení a pokud to nebude stačit, je možné si domluvit individuální konzultaci.
Mohl byste s námi probrat polynomy a komplexní čísla, prosím? Třetí otázka mi dala dosti zabrat a pořád se v tom moc neorientuji, respektive skoro vůbec.
Totéž, co poslední dotaz.