Odpovědi na otázky položené v 6. kvízu v Lineární algebře 1.

Zde najdete odpovědi na dotazy z kvízu. Je možné, že byly přeřazeny z jedné kategorie do druhé nebo že je v seznamu odpověď na velice podobný dotaz někoho jiného.

Matematické dotazy

Rád bych se zeptal, proč může být lineární obal vždy jen konečná množina? S tím nejspíš souvisí i má druhá otázka: Proč v příkladu 5.27 množina X={(1,0,0...), (0,1,0...), ...} negeneruje prostor ℝω?

Lineární obal nemusí být a často ani není konečný. Např. lineární obal nenulového vektoru v ℝ3 je celá přímka s tím směrem (ilustrace v GeoGebře).

Asi se to plete s následujícím: Pokud je V vektorový prostor nad tělesem T a X je nějaká podmnožina V, pak LO X je množina lineárních kombinací vektorů z X. To jsou podle definice konečné výrazy tvaru t1v1 + t2v2+...+tkvk.

Podívejme se se tedy zpět na příklad 5.27, kde si pro každé přirozené číslo i označím ei posloupnost (0,0,...,0,1,0,...), která má všude nuly a jedničku na i-tém místě. Pak prvky LO X budou podle definice přesně posloupnosti tvaru t1ei1 + t2ei2+...+tkeik, kde k je nezáporné celé číslo (počet členů v lineární kombinaci), i1, i2, ..., ik jsou indexy vektorů, ze kterých děláme lineární kombinaci, a t1, t2, ..., tk jsou reálné koeficienty. Jelikož posloupnosti se sčítájí a násobí koeficientem po složkách, výsledkem lineární kombinace o k členech bude určitě posloupnost, která má nejvýš k nenulových složek a nekonečně mnoho nulových. Takže v LO X nebude např. posloupnost (1,1,1,...) z ℝω. K jejímu vyjádření by bylo potřeba něco jako nekonečný součet e1+e2+e3+.... Takovou operaci ale nemáme v souvislosti s pojmem vektorového prostoru nijak definovanou a ani s ní pojem lineárního obalu nepočítá.

Chcel by som poprosiť o vysvetlenie, prečo elementárne stĺpcové úpravy na matici A nemenia obor hodnôt zobrazenia daného maticou A, neviem si to totiž príliš dobre predstaviť.

Můžete si to zkusit představit třeba pro matici A typu 3×2 nad reálnými čisly. Sloupcový prostor tvoří typicky rovinu v ℝ3 - někdy to samozřejmě může být přímka nebo bod, ale pro jednoduchost předpokládejme, že je to opravdu rovina.

Pokud provedeme elementární sloucovou úpravu (sloupce prohodíme, jeden vynásobíme nenulovým reálným nebo přičteme násobek jednoho vektoru k druhému), budou sloupce stále určovat tutéž rovinu. To je geometricky celkem názorné a jde si to nějak nakreslit.

Pokud je matice větší nebo těleso jiné než reálná čísla, je potřeba to dokázat formálně. To je v tvrzení 5.32 ve skriptech zaobaleno do vlastností násobení matic.

Nerozumím příkladu 5.6 vektorového prostoru. Není mi jasný rozdíl mezi lin. obalem a množinou generátorů (pokud chápu správně, tak druhý termín používáme, pokud se odkazujeme na nějaký prostor generovaný LO?). U příkladu 5.30 si nejsem jistá, proč Im A je oborem hodnot.

U příkladu 5.6 jde hlavně o to, že máte zadané nějak konkrétně ale na pohled zvláštně operace na množině podmnožin množiny {1,2,...,11} a pointa je, že pro tyto operace jsou splněny axiomy vektorového prostoru nad tělesem ℤ2.

Lineární obal podmnožiny X vektorového prostoru V je množina LO X všech lineárních kombinací prvků z X. S trochou přemýšlení se dojde k tomu, že je to vzhledem k inkluzi nejmenší podprostor V, který obsahuje množinu X.

Množina generátorů vektorového prostoru V je jakákoliv jeho podmnožina X taková, že LO X je celé V. Tj. tautologicky X je vždy množina generátorů LO X.

K příkladu 5.30 - jak přesně vypadají obrazy fA(x) pro vektory x=(x1, x2, x3)T∈ℝ3? Když si započítáme, dostaneme fA(x) = Ax = x1 (1, 2)T + x2 (3, 7)T + x3 (4, -1)T. Čili jako obrazy maticového zobrazení fA dostaneme přesně lineární kombinace sloupců A. Jinými slovy, obor hodnot fA je přesně sloupcový prostor matice A. Naprosto analogicky to chodí pro libovolnou matici A nad libovolným tělesem T.

Organizační dotazy

V příkladech na cvičení se na konci nacházejí obtížnější úlohy. Mám pro vás 2 dotazy. 1. Lze někde najít podrobnější řešení? Úlohy jsou často velmi stručně okomentované a někdy nemají ani uvedené řešení. Povětšinou je nad mé síly, abych řešení vymyslela sama :(. 2. Jsou tyto úlohy ekvivalentní těm zkouškovým? Rozumím, že právě tyto příklady ověří, zda jsme danou látku opravdu pochopili a jak ji umíme následně uplatnit, ale i přes všechnu moji snahu, jsou prozatím mimo můj dosah.
Podrobnější řešení bohužel aktuálně sepsaná nejsou. Obtížnější úlohy jsou spíš rozšiřující, i úlohy na zamyšlení jsou u zkoušky a midtermu většinou trochu jiného typu (např. zde je vzor midtermu). Jsme rádi, že obtížnější úlohy zkoušíte, ale pokud je všechny nevyřešíte, není to důvod k zoufání. Můžete se zkusit i doptat - spolužáků, na cvičení, po přednášce.
Mohla bych poprosit bližší informace o konání midtermů?
Termíny jsou jasné a na stránce předmětu i v Moodle: v úterý 24. 11. a 15. 12. od 10:40 do 12:10 místo úterní přednášky. Látka, kterou máte k tomu kterému midtermu umět, také a je v požadavcích ke zkoušce. Testy proběhnou určitě on-line, tam nebude na výběr. Konkrétní podobu budeme ladit tento týden a dostanete instrukce. V úvahu přichází např. kombinace testu v Moodlu a úloh s řešením, které budete fotit a nahrávat podobně jako DÚ.