Odpovědi na otázky položené v 9. kvízu v Lineární algebře 1.

Zde najdete odpovědi na dotazy z kvízu. Je možné, že byly přeřazeny z jedné kategorie do druhé nebo že je v seznamu odpověď na velice podobný dotaz někoho jiného.

Matematické dotazy

Prosil bych o dovysvětlení pojmu "direktní součet."

Bude tomu věnována část přednášky 8.12.

V nejjednodušším případě, kdy máme dva vektorové podprostory U a W prostoru V, řekneme, že V je direktním součtem U a W, pokud U+W=V a U∩W={0}. V tom případě platí dim(V)=dim(U)+dim(W) (podle věty 5.99, str. 194) a každý vektor v∈V se dá zapsat jediným způsobem jako v=u+w, kde u∈U a w∈W. Skutečnost, že V je direktním součtem U a W, značíme V=U⊕W.

Příklad: pokud si vezmeme ve V=ℝ3 nějakou rovinu U procházející počátkem a přímku W procházející počátkem, která neleží v U, pak V=U⊕W.

Co znamená, že V je direktním součtem více podprostorů V1, ..., Vk, je vysvětleno v definici 5.106, str. 198, a je to opět charakterizováno jak tím, že každý prvek V lze vyjádřit jednoznačně jako součet prvků z jednotlivých podprostorů (tvrzení 5.107 na str. 198), tak tím, že dim(V) je součet dimenzí jednotlivých Vi, i=1, ..., k (to se dá dokázat indukcí podle počtu k z věty 5.99 na str. 194). Příklad: V=ℝ3 je direktním součtem třech souřadnicových os (pokud se na ně díváme jako na vektorové podprostory).

Prosím o vysvětlení úlohy číslo 4 (Aritmetický vektorový prostor ...).
Tady to dost závisí na pojmu direktního součtu, který je vysvětlen výše. Reálný vektorový prostor ℝ3 nemůže být direktním součtem ani 4 přímek ani 2 rovin, protože takový direktní součet by v obou případech musel mít dimenzi 4. To, že by ℝ3 byl průnik 3 přímek, je zjevný nesmysl, tak zbývá poslední možnost, že nic z ostatního neplatí.
Nerozumím části důkazu Steinitze, kde jsme dokázali, že k<=l a co to vypovídá? (skripta: od "To znamená, že platí k<=l...."; str 180) - nedokázala jsem si odůvodnit, proč je dim všech matic mxn nad T m*n - není mi jasný důkaz věty 5.99 (o dimenzi jádra a obrazu; hl od druhého odstavce: "Zvolíme lib. bázi") a věty 5.103 (o dimenzi součtu a průniku) *pokud by zbyl čas, bylo by skvělé se ještě nachvilku zastavit u zmíněných vět a u kapitoly 5.6 (pozorování: pojmenované věty jsou často důležité :-).)

Důkazu Steinitzovy věty i zmíněnému místu jsem se poměrně podrobně věnoval na přednášce 26.11. (zázmam je dostupný přes Moodle). V kostce: Z indukčního předpokladu v tomto místě máme nerovnost k-1<=l a generující posloupnost P=(v1, v2, ..., vk-1, w''k, w''k+1, ..., w''l) a víme tedy, že vk lze zapsat jako lineární kombinace prvků P. Na druhou stranu z předpokladů celé věty je posloupnost (v1, v2, ..., vk-1, vk) lineárně nezávislá, a tedy vk nelze zapsat jako lineární kombinace prvků (v1, v2, ..., vk-1). Shrnuto: Posloupnost P musí obsahovat aspoň jedno w''i, což znamená, že nutně k-1<l, tj. k<=l.

Co to celé vypovídá? Důležité jsou důsledky, počínaje důsledkem 5.61 na str. 180, který vůbec umožňuje mluvit o dimenzi vektorového prostoru. Zbytek kapitoly 5.4.1 i přednáška z 26.11. se tomu věnuje podrobněji.

Co se týče dimenze prostoru matic Tm×n, tam se vezmou všechny matice, které mají na jednom místě jedničku a všude jinde nuly, a seřadí se do posloupnosti. Pak se ukáže, že tato posloupnost je lineárně nezávislá a každá matice m×n nad daným tělesem je lineární kombinací těchto matic. Tj. je to báze Tm×n, která má m*n prvků, a dimenze Tm×n je tedy přímo podle definice 5.62 (str. 181) rovna m*n.

Problémy u věty 5,99 by se nejlépe vyjasnily osobně třeba po přednášce nebo na cvičení nebo po domluvě i jindy. Důkaz věty 5.103 bude zařazen na přednášku 8.12.

Organizační dotazy

Měla bych jednu naprosto nepodstatnou prosbu, zda-li by bylo možné, když se v kvízu odkazuje na nějaký příklad ze skript, psát i stranu, na které se nachází. Třeba dneska se mi stalo, že jsem jej vážně nemohla najít.
Vynasnažím se.
Dobrý den, chtěla bych se zeptat ohledně podkapitol 5.7 (Prostory nekonečné dimenze) a 5.8 (Samoopravné kody), jak moc jsou důležité, tedy jestli se na ně budete ptát v midtermu a ve zkoušce, nebo je to spíš myšleno pro zajímavost?

Obě kapitoly jsou z pohledu této přednášky doplňující a nebudou se zkoušet

Z perspektivy dalšího studia na Matfyzu obecně je celkem pravděpodobné, že někde narazíte na nekonečně generované vektorové prostory (typicky prostory funkcí nebo polynomů). Z tohoto pohledu může být užitečné po pochopení kap. 5.6 projít i kap. 5.7 - je to jen stránka a půl, nejsou tam žádné důkazy a dá to určitou představu, co se zobecní pro prostory, které nejsou konečně generované, a co ne.

Kapitola 5.8 se studentům Matematiky v informačních technoligiích vrátí v podobě celé přednášky NMMB304 Samoopravné kódy, kde bude vše vysvětleno pořádně a podrobně. Pro všechny ostatní je ta kapitola 5.8 čistě pro zajímavost/pro motivaci, k čemu se taky lineární algebra může použít a opravdu používá (tyto techniky byly použity už v sedmdesátých letech 20. století pro přenos fotek Marsu sondou Mariner 9 a dnes se s nimi běžně setkáte v propracovanější podobě např. v QR kódech a na DVD).

Chtěl bych se zeptat, zda-li existuje nějaký seznam všech důležitých vět, které se v tomto semestru objeví?
Ano, podívejte se, prosím, na stránku požadavků ke zkoušce. Důležitých tvrzení je moc, celkově jde spíš o seznam důležitých kapitol, ale dole na stránce je seznam konkrétních tvrzení, u kterých budeme výslovně zkoušet důkazy.
Pokud nějaký týden zapomenu na kvíz a nevyplním ho, je možné někde najít, jaké v něm byly otázky?
Nepovedlo se nám v Moodle najít jednoduchý způsob, jak toho dosáhnout. Zbývá tedy se někoho zeptat - spolužáků nebo nás.
Nedávno byla zvěřejněna psaná část midtermu. Je tu možnost zvěřejnit i tu quizovou část na Moodle?
Všechny otázky z kvízové části testu (podle typu) si můžete vyzkoušet v Moodlu pod týdnem 23.-29.11. Odkazy jsou pod psanými částmi testu. Kvíz si můžete klidně vícekrát vyzkoušet a nechat si (teď už nezávazně) odpovědi ohodnotit.
Odkazovali jste nás na "přímočarou" sbírku úloh. Existuje i sbírka/pdfko/stránka s "nepřímočarými" úlohami? (*více na zamyšlení, podobné jako úloha 7 v midtermu)
To je rozhodně zajímavá otázka, bohužel ale takovou sbírku momentálně nemáme (mimo úloh z minulých testů). Do určité míry tu roli ale plní domácí úkoly, kde úlohy vyžadují porozumění a nalezení vhodného pohledu na problém.