Zde najdete odpovědi na dotazy z kvízu. Je možné, že byly přeřazeny z jedné kategorie do druhé nebo že je v seznamu odpověď na velice podobný dotaz někoho jiného.
Matematické dotazy
- Já mám trochu obecnější dotaz. Důležitou součástí lineární algery je převedení problému počítání se skaláry na problém s vektory, který se dá dále zjednodušit převedením na matice. Převádí se tedy někdy problém s maticemi na problém s "obecnějšími" objekty? A jak do toho zapadají tenzory?
Odpověď obecně trochu závisí od toho, jaký problém řešíte. Matice i obecněji lineární zobrazení zapadají pěkně do existující teorie - množina Tm×n matic daného typu nad T i množina Hom(V,W) lineárních zobrazení mezi danou dvojicí vektorových prostorů (k tomu více ve čtvrtek) tvoří samy o sobě vektorový prostor. Tj. na matice samy o sobě se dá dívat jako na vektory.
Tenzory přijdou ke slovu ve chvíli, kdy studujeme tzv. multilineární zobrazení. Třeba v létě budeme studovat skalární součin na reálném vektorovém prostoru V. To je dost důležitý pojem a jde o něco, kam se dosadí dva vektory a dostaneme zpět reálné číslo. Formálně jde tedy o zobrazení f: V×V→ℝ. Pro skalární součin navíc ještě platí f(x+y,z)=f(x,z)+f(y,z), f(x,y+z)=f(x,y)+f(x,z) a f(t*x,y)=t*f(x,y)=f(x,t*y). Zobrazením splňujícím tyto axiomy se říká bilineární formy a skalární součin je speciálním případem bilineární formy. Podobně můžeme uvažovat i trilineární formy f: V×V×V→ℝ i ještě obecnější struktury. Podobně jako lineární zobrazení nebo matice, i takovéto struktury tvoří vektorový prostor tzv. tenzorů určitého typu (podle toho, kolik ta zobrazení mají argumetů a kolik argumentů vracejí).
"Obecnější objekty", které by zapadaly do odpovědi, mě nenapadají. Spíš se člověk setká s tím, že na vektorovém prostoru je v daném problému víc struktury, kterou můžeme použít a kterou se matematici snažili a snaží nějak formálně podchytit a popsat její obecné chování. Např. na reálném nebo komplexním vektorovém prostoru můžeme mít skalární součin. Na nekonečně dimenzionálních vektorových prostorech máme často nějaký přirozený pojem limity a tím pádem i některé nekonečné součty (tzv. Banachovy prostory). Pokud máme jak skalární součin, tak limity, říká se tomu Hilbertův prostor. Na prostoru čtvercových matic máme zase skládání matic a tak by se dalo pokračovat dále.
Organizační dotazy
- Chcel by som sa opýtať, po ktorú kapitolu sa v skriptách plánujeme dostať pred skúškou. Bude skúšaná aj celá kapitola 7? Alebo to záleží od toho, ako budeme stíhať na prednáškach?
- Průběžně aktualizuji stránku požadavků ke zkoušce podle toho, jak se vyvíjí přednáška, a zkouškové příklady tomu budou odpovídat. Obecně počítám s tím, že teorie se v zimním semestru probere po kap. 7.4 a cvičení po kap. 7.2.