Algebra (NMAG206) - informace k úvodní přednášce z algebry pro obecnou matematiku a matematiku pro informační technologie v letním semestru 2022/2023.

Základní informace

Důležité odkazy - rychlý rozcestník:

Stručný obsah kurzu:

  1. Elementární teorie čísel
  2. Základní algebraické objekty - obecné obory, elementární teorie polynomů, číselné obory
  3. Abstraktní teorie dělitelnosti - zobecněná základní věta aritmetiky a Eukleidův algoritmus pro obecné obory, obory hlavních ideálů
  4. Algebra polynomů - ireducibilní rozklady polynomů, modulární aritmetika a konečná tělesa, symetrické polynomy a základní věta algebry
  5. Teorie grup - Lagrangeova věta, cyklické grupy, grupy symetrií, působení na množině a Burnsideova věta, faktorgrupy a řešitelnost
  6. Tělesová rozšíření a Galoisova teorie - rozšíření konečného stupně, algebraické a transcendentní prvky, konstrukce pravítkem a kružítkem, Galoisovy grupy a (ne)existence vzorců pro řešení polynomiálních rovnic

Konzultace se domlouvají individuálně e-mailem. Pokud něčemu nerozumíte, nebojte se přijít zeptat!

Zápočet

Zápočet se uděluje za písemný test. Standardní termín je v K1 v čase přednášky v úterý 18. 4. Opravné termíny se konají ve středu 3. 5. od 10:40 v K12 a ve čtvrtek 18. 5. od 9:00 v K7.

Test trvá 60 minut a sestává ze čtyř početních úloh. Typově i obtížností budou úlohy srovnatelné s těmi, které řešíte na cvičeních. Je možné získat až 20 bodů, na zápočet je potřeba alespoň 14 bodů.

Výsledku dosavadní testů jsou k nalezení v tabulce zde.

Typy úloh:

  • Elementární teorie čísel: úlohy s kongruencemi, Eulerova věta, čínská věta o zbytcích.
  • Kvadratická rozšíření celých čísel: výpočet NSD, ireducibilní rozklady.
  • Obory polynomů jedné proměnné (nejen nad tělesy): výpočet NSD, ireducibilní rozklady.
  • Modulární aritmetika polynomů: čínská věta o zbytcích, počítání v konečných tělesech.
  • Symetrické polynomy a Vietovy vztahy.

Uvádějte postupy, pište zdůvodnění vašich úvah, odkazujte se na konkrétní věty, které používáte. Například, v úloze "spočtěte poslední dvě cifry čísla 111234" byste měli v jistém kroku výslovně uvést, že používáte Eulerovu větu pro m=100 a a=11 (nebo použít jiný postup, který obdobně vysvětlíte).

Zkouška

Termíny zkoušek jsou vypsané v SISu. Zkouška se skládá ze 3 částí:

  • z 10 % z výsledků kvízů během semestru (započítává se 10 nejlépe hodnocených, tabulka průběžných výsledků zde),
  • ze 75 % z výsledku písemného testu (délka 150 min.),
  • z 15 % z výsledku ústní části zkoušky (ca. 20 min. příprava a 15 min. zkoušení).

Hranice známek jsou stanoveny na 80 % bodů dohromady ze všech částí zkoušky na jedničku, 68 % na dvojku a 55 % na trojku.

Pro ilustraci formátu písemné zkoušky se můžete podívat na jednu ze starších zkoušek.

Na ústní části se budou zkoušet delší důkazy z přednášky (hlavní myšlenky, na vyžádání doplnit detaily a pomocná lemmata) nebo vysvětlit ucelené téma (např. proč nejdou řešit některé úlohy kružítkem a pravítkem). Pro lepší představu je k dispozici seznam okruhů témat pro ústní zkoušení.

Následující témata nebo důkazy se nezkouší:

  • násobné kořeny (kap. 3.5),
  • řešení diofantických rovnic (kap. 6.3 a podobné úlohy),
  • důkaz Gaussovy věty (žádné důkazy ze kap. 8.2, ale měli byste vědět, co to říká a jak se to použije na polynomy více proměnných),
  • šifra AES a protokoly sdílení tajemství (kap. 10),
  • vlastnosti lexikografických uspořádání (kap. 11, ale Gaussův algoritmus a jeho použití se zkoušet bude),
  • Loydova patnáctka (kap. 14.3),
  • reprezentace grup (kap. 15.5),
  • většina kap. o diskrétním logaritmu a jeho využití v kryptografii (kap. 16.3, stačí znát definici diskrétního logaritmu a umět použít, že jde o isomorfismus grup),
  • grupy symetrií (kap. 17, ale měli byste mít představu, o čem se tam mluví, znát rotace krychle a umět toto použít např. v souvislosti s Burnsideovou větou),
  • 2. a 3. věta o izomorfismu pro grupy ani okruhy (z kap. 19.2 a 20.2),
  • důkazy tvrzení o řešitelných grupách (kap. 19.3, stačí znát definici a příklady),
  • důkaz jednoznačnosti rozkladových nadtěles (kap. 24.1, důkaz jednoznačnosti kořenových nadtěles ireducibilních polynomů se naopak zkoušet bude, ve skriptech je trochu skryt jako speciální případ lemmatu 24.2 pro T=T1=T2 a φ=id),
  • klasifikace konečných těles (kap. 24.2),
  • většina vlastností Galoisových grup (kap. 25, zkoušet se budou jen definice, velice jednoduché příklady typu Gal(ℂ/ℝ) nebo Gal(ℚ(√s)/ℚ) a tvrzení 25.1 a 25.2 s tím, že u 25.2(2) se nezkouší důkaz),
  • nic z kap. 26, kromě snad znění Galoisovy věty 26.1.

U předtermínu 18. 5. se zkouší látka bez poslední přednášky, tj. po kap. 24.1 včetně.

Co bylo probráno a kvízy

Zde bude postupně aktualizovaný program kurzu a budou zde také zveřejňovány kvízy.

Týden odTémaSkripta (kapitola)Téma cvičeníList cvičeníKvízy a odpovědi
13.02.Elementární teorie čísel: NSD, základní věta aritmetiky, kongruence, Eulerova věta.1.1 – 1.4Eukleidův algoritmus, kongruence.Cv. 01Q01, odpovědi
20.02.Čínská věta o zbytcích. Základní algebraické struktury: grupy, okruhy, obory a tělesa, příklady, základní vlastnosti.1.5, 2.1 – 2.3Eulerova věta, čínská věta o zbytcích.Cv. 02Q02, odpovědi
27.02.Isomorfismus okruhů a podílová tělesa. Polynomy: definice, dělení se zbytkem, kořeny a dělitelnost, algebraická a transcendentní čísla.2.4 – 2.5, 3 (mimo 3.5)Základní algebraické struktury; obory polynomů, kořeny.Cv. 03Q03, odpovědi
06.03.Číselné obory. Základní pojmy teorie dělitelnosti: asociované prvky, NSD, ireducibilní rozklady.4, 5Číselné obory: dělení se zbytkem, ireducibilní rozklady, NSD.Cv. 04Q04, odpovědi
13.03.Gaussovské obory, zobecnění základní věty aritmetiky. Eukleidovské obory, obory hlavních ideálů, hierarchie oborů z hlediska dělitelnosti. Racionální kořeny, Eisensteinovo kritérium (formulace). 6 (mimo 6.3), 7, 8.1Ideály a polynomy: kořeny, ireducibilní rozklady, NSD.Cv. 05Q05, odpovědi
20.03.Eisensteinovo kritérium (důkaz). Gaussova věta. Modulární aritmetika na polynomech: čínská věta o zbytcích, faktorokruhy. Kořenová nadtělesa, konečná tělesa a jejich aplikace, sdílení tajemství.8 (bez důkazů z 8.2), 9, 10Gaussovo lemma, čínská věta o zbytcích pro polynomy.Cv. 06Q06, odpovědi
27.03.Symetrické polynomy a Vietovy vztahy. Základní věta algebry. Grupy, podgrupy, isomorfismy grup: definice a příklady.11, 12, 13.1 – 13.2Faktorokruhy, konečná tělesa.Cv. 07Q07, odpovědi
03.04.Mocniny a řád. Podgrupy: generátory, Lagrangeova věta. Grupové homomorfismy.13.3, 14.1 – 14.2, 15.1Symetrické polynomy a Vietovy vztahy. Permutační grupy.Cv. 08Q08, odpovědi
10.04.Vlastnosti homomorfismů, isomorfismy a invarianty, klasifikační věty, malé grupy.15.1 – 15.4Grupy a podgrupy. Opakování k testu.Cv. 09není
17.04.Struktura cyklických grup, výpočetní aspekty a aplikace diskrétního logaritmu. Zápočtový test (18. 4.).16Homomorfismy, isomorfismus. Struktura grup ℤn*.Cv. 10Q09, odpovědi
24.04.Působení grupy na množině, grupy symetrií a Burnsideova věta. Cayleyova reprezentace grupy. Cauchyova věta. Normální podgrupy, faktorgrupy.15.5, 17.1, 18, 19.1 – 19.2Symetrie krychle. Působení grupy na množině a Burnsideova věta.Cv. 11Q10, odpovědi
01.05.Věty o isomorfismu pro grupy. Řešitelné grupy. Okruhové homomorfismy.19.2 – 19.3, 20.1Faktorgrupy a faktorokruhy.Cv. 12není
08.05.Příklady homomorfismů okruhů. Faktorokruhy. Stupeň rozšíření těles.20 – 21Rozšíření těles a jejich stupně.Cv. 13Q11, odpovědi
15.05.Minimální polynomy, stupeň iterovaného rozšíření, algebraické prvky. Jednoznačnost kořenových a (bez důkazu) rozkladových nadtěles. Konstrukce pravítkem a kružítkem.22 – 24 (mimo 24.2)Minimální polynomy, algebraické prvky. Opakování ke zkoušce.dokončení listů výšeQ12, odpovědi
22.05.Galoisovy grupy. Cardanovy vzorce. (Ne)řešitelnost polynomiálních rovnic v radikálech. 25 – 26

Literatura a video

Základním zdrojem jsou elektronická skripta D. Stanovského.

K dispozici je i provizorní sbírka úloh, též od D. Stanovského.

Přednášky z akademického roku 2017/2018 byly natočeny na video. V tom roce byla přednáška rozdělena do dvou semestrů, obsahově je obdobná:

Ještě doplňující odkazy pro zvídavé:

  • Důkaz, že ℤ[(1+√-19)/2] je obor hlavních ideálů, ale není eukleidovský:
    J. C. Wilson, A principal ideal ring that is not a Euclidean ring, Mathematics Magazine, Vol. 46, No. 1 (Jan., 1973), pp. 34-38.
  • Různé důkazy základní věty algebry jsou vysvětleny v následující knize (ten přednášený se nachází v kapitole 6.5):
    B. Fine, G. Rosenberger, The fundamental theorem of algebra, Springer-Verlag, 1997.
  • Konstrukci pravidelného 257-úhelníku lze v nějaké podobě najít na Wikipedii.
  • Algoritmus pro výpočet Galoisovy grupy rozkladových nadtěles polynomů třetího a čtvrtého stupně je popsán v článku:
    K. Conrad, Galois groups of cubics and quartics (not in characteristic 2).