Program jednotlivých přednášek a cvičení
Přednáška č. 1 - 29.9.2021
Úvodní informace - stručný obsah kurzu, předpokládané znalosti a souvislosti s dalšími
oblastmi matematiky, literatura atp. Stručné připomenutí potřebných znalostí z topologie. Začátek oddílu I.1
- až po Příklad I.1(2).
Cvičení č. 1 - 30.9.2021
Příklady I.1(3)-(5),(7) (příklad (4) jen stručně zmíněn; z příkladu (7) zbývá
ukázat lokální nekonvexitu)
Přednáška č. 2 - 4.10.2021
Oddíl I.1 - od poznámky za Příklady 1 až do Věty 4 (bod (1) včetně důkazu, formulace bodu (2),
jednoznačnost, konstrukce příslušné topologie a důkaz, že jde o topologii a že daný systém je bází okolí nuly)
Cvičení č. 2 - 6.10.2021
Prostor Lp[0,1] pro p∈(0,1) - jediné otevřené konvexní množiny jsou prázdná množina
a celý prostor, jediný spojitý lineární funkcionál je nulový; prostor lp pro p∈(0,1)
- každá neprázdná otevřená konvexní množina je neomezená v metrice z definice prostoru; charakterizace konvexních množin ve vektorových prostorech (A je konvexní, právě když pro
každá α,β>0 platí (α+β)A=αA+βA); Příklad I.5(1); Příklad I.5(2) -
prostor 𝒟(Ω), normy a metrika na 𝒟K(Ω), topologie na 𝒟(Ω), standardní konvergence
v 𝒟(Ω) implikuje konvergenci v této topologii.
Přednáška č. 3 - 7.10.2021
Dokončení důkazu Věty 4(2), oddíl I.2 (spojitá a omezená lineární zobrazení) - celý. Začátek oddílu I.3 (prostory konečné
a nekonečné dimenze) - formulace Tvrzení 9 a první krok důkazu.
Přednáška č. 4 - 11.10.2021
Oddíl V.3 - dokončení důkazu Tvrzení 9 a zbytek oddílu. Oddíl V.4 (metrizovatelnost TVS), celý - z důkazu Tvrzení 13 pouze konstrukce funkce p,
vlastnosti nedokazovány.
Cvičení č. 3 - 13.10.2021
Dokončení z minula - konvergence v topologii 𝒟(Ω) implikuje standardní konvergenci v 𝒟(Ω);
spojité lineární funkcionály na prostoru testovacích funkcí jsou právě distribuce;
reprezentace spojitých lineárních funkcionálů na lp pro p∈(0,1) pomocí prvků l∞;
nejsilnější lokálně konvexní topologie, v ní jsou všechny lineární funkcionály spojité.
Konvexní obal vyvážené množiny je vyvážený, vyvážený obal konvexní množiny nemusí být konvexní.
Přednáška č. 5 - 14.10.2021
Oddíl I.5 (Minkowského funkcionály, pseudonormy a generování lokálně konvexních topologií)
- od začátku oddílu do Věty 19 včetně.
Přednáška č. 6 - 18.10.2021
Pokračování oddílu I.5 - od Věty 20 do Tvrzení 25(b) (z něj jen první část).
Cvičení č. 4 - 20.10.2021
Porovnání omezených a metricky omezených množin v normovaných lineárních prostorech,
v TVS generovaných translačně invariantní metrikou a v prostoru Lp(μ) pro p∈(0,1).
Prostor FΓ - pseudonormy generující topologii, metrizovatelnost je ekvivalentní spočetnosti Γ,
normovatelnost je ekvivalentní konečnosti Γ, pro spočetné Γ je přirozeně definovaná metrika úplná.
Úplnost Lp(μ) pro p∈(0,1) (po konstrukci limitní funkce, důkaz, že jde opravdu o limitu, zatím nebyl).
Přednáška č. 7 - 21.10.2021
Tvrzení 25 - dokončení bodu (b) a bod (c), pak oddíl I.6 (F-prostory a Fréchetovy prostory) - do Věty 31 včetně.
Přitom z Příkladů 26 bod (2) první případ z bodu (3) byly na cvičení, druhý případ z bodu (3) byl dokázán a ostatní jen stručně
okomentovány.
Přednáška č. 8 - 25.10.2021
Dokončení oddílu I.6 (tj. Věta 32), oddíl I.7 (oddělování v lokálně konvexních prostorech) do Věty 36 (z ní bylo znění a důkaz bodu
(a) pro reálný prostor).
Cvičení č. 5 - 27.10.2021
Úplnost Lp(μ) pro p∈(0,1) - dokončení. Podrobná analýza prostoru
⋂p∈(0,∞)Lp(R).
Přednáška č. 9 - 1.11.2021
Dokončení oddílu I.7 (Věta 36(b) pro reálný prostor, Věta 36 pro komplexní prostor a Důsledek 37); začátek Kapitoly II (Slabé topologie),
speciálně oddílu II.1 (obecné slabé topologie a dualita) - do Lemmatu 3 (znění a důkaz implikací (i)⇒(ii)⇒(iii)).
Cvičení č. 6 - 3.11.2021
Prostor C(R) není normovatelný, popis duálu.
Pro p∈(0,1) je lp lineárně izometrické podprostoru Lp([0,1]), což ukazuje,
že Hahn-Banachova rozšiřovací věta neplatí v TVS.
Absolutně konvexní obal omezené množiny v LCS je omezená množina; konvexní obal
omezené množiny v TVS nemusí být omezený (příklad v Lp([0,1])); konvexní obal kompaktní
množiny v TVS nemusí být omezený (návod pro příklad v Lp([0,1])).
Příklad dvou disjunktních uzavřených konvexních
množin v Banachově prostoru c0 nebo lp pro p∈[1,∞), které nelze
oddělit nenulovým spojitým lineárním funkcionálem;
Přednáška č. 10 - 4.11.2021
Dokončení oddílu II.1 (implikace (iii)⇒(i) z Lemmatu 3, Věta 4 a Důsledek 5); oddíl
II.2 (slabé topologie na LCS) - celý; začátek oddílu II.3 (poláry a jejich aplikace) - do Tvrzení 11 včetně.
Přednáška č. 11 - 8.11.2021
Pokračování oddílu II.3 (poláry a jejich aplikace) - od poznámky za Tvrzením 11 do Důsledku 17.
Cvičení č. 7 - 10.11.2021
Duál k FΓ. Prostor C(K) - normová topologie, slabá topologie,
topologie bodové konvergence, topologie bodové konvergence na podmnožině -
spojité lineární funkcionály v těchto topologiích. Porovnání slabých* topologií na duálu k normovanému
prostoru a jeho zúplnění - na celém prostoru a na jednotkové kouli.
Slabá* topologie na jednotkové kouli l∞ splývá s topologií bodové konvergence;
podobné tvrzení platí pro slabou topologii na lp pro p∈(1,∞) a na c0
a pro slabou* topologii na l1; aplikace předchozího na charakterizaci slabě* resp. slabě konvergentních
posloupností jako omezených bodově konvergentních posloupností; slabá konvergence kanonických vektorů v c0 a v lp
(p∈(1,∞)); zmínka o Schurově větě, která říká, že
na l1 splývá slabá konvergence posloupností s normovou konvergencí.
Uzávěr sféry je koule ve slabé topologii na nekonečněrozměrném normovaném prostoru.
Přednáška č. 12 - 11.11.2021
Dokončení oddílu II.3 (druhá část Důsledku 17 a Důsledek 18); vsuvka o zdola polospojitých a sekvenciálně zdola polospojitých
funkcích a nabývání minima; začátek kapitoly III (základy
vektorové integrace) a oddílu III.1 (měřitelnost vektorových funkcí) - do Větičky 1 včetně.
Přednáška č. 13 - 15.11.2021
Dokončení oddílu III.1 - od poznámky za Větičkou 1 do konce oddílu.
Přednáška č. 14 - 18.11.2021
Oddíl III.2 (integrovatelnost vektorových funkcí) - do Tvrzení 11 včetně.
Přednáška č. 15 - 22.11.2021
Dokončení oddílu III.2 - od definice slabého integrálu do konce oddílu (vložena poznámka
o bezpodmínečné konvergenci).
Dále oddíl III.3 (Lebesgue-Bochnerovy prostory) - úvodní definice a poznámky, Věta 14(a,b) (důkaz tvrzení (a) zatím
naznačen jen pro p=∞).
Cvičení č. 8 - 24.11.2021
Měřitelnost zobrazení s hodnotami v lp pro p∈[1,∞) nebo c0, podmínky
bochnerovské a slabé integrability, zejména pro prostor c0, příklady rozlišující jednotlivé druhy integrálů pro c0.
Měřitelnost a integrovatelnost funkce t↦ψ·χ(0,t).
Přednáška č. 16 - 25.11.2021
Dokončení oddílu III.3 - Věta 14 - důkaz bodu (a) pro p<∞, bod (c) a pak do konce oddílu.
Přednáška č. 17 - 29.11.2021
Začátek kapitoly IV (Banachovy algebry a Gelfandova transformace), oddíl IV.1 (Banachovy algebry -
základní pojmy a vlastnosti) - do Tvrzení 2 včetně. Příklad 1(9) byl vynechán.
Cvičení č. 9 - 1.12.2021
Měřitelnost a integrovatelnost funkcí t↦χ(0,ψ(t)) a t↦ψ(t)·χ(0,t).
Měřitelnost funkce s hodnotami v C(K), kde K je kompaktní metrický prostor.
Přednáška č. 18 - 2.12.2021
Dokončení oddílu IV.1 - od poznámek za Tvrzením 2 do konce oddílu.
Dále začátek oddílu IV.2 (Spektrum a jeho vlastnosti) - úvodní definice a poznámky.
Přednáška č. 19 - 6.12.2021
Pokračování oddílu IV.2 - od poznámky (3) do Věty 12 včetně první části důkazu. Poznámka za Větou 9 byla jen stručně
zmíněna.
Cvičení č. 10 - 8.12.2021
Příklady Banachových algeber - algebra (Cn,||·||p) s bodovým násobením a její renormace;
algebra lp(Γ) s bodovým násobením; různé normy na algebře matic; algebry s levými jednotkami,
s pravými jednotkami a jejich maticová reprezentace; algebra s triviálním
součinem a přidání jednotky k ní, reprezentace v algebře operátorů. Spektrum v algebře C(K) a v algebře C0(T),
přidání jednotky k C0(T). Spektrum a rezolventní funkce nilpotentního prvku algebry, zmíněna aplikace
pro Jordanovu buňku.
Přednáška č. 20 - 9.12.2021
Dokončení oddílu IV.2 - Věta 12 a zbytek důkazu a dále do konce oddílu. Dále oddíl IV.3 (Holomorfní funkční kalkulus)
- Tvrzení 16, definice holomorfního kalkulu a následující poznámky.
Přednáška č. 21 - 13.12.2021
Dokončení oddílu IV.3 - důkaz Věty 17 (viz též podrobný důkaz u textů k přednášce).
Cvičení č. 11 - 15.12.2021
Banachova algebra l1(G), kde G je komutativní grupa (což je obecnější verze Příkladu 1(8));
reprezentace algebry l1(Zn) pomocí matic, invertibilní prvky a spektrum, speciálně v
l1(Z2), včetně aplikace holomorfního kalkulu. Applikace holomorfního kalkulu
na nilpotentní prvek, na Jordanovu buňku; holomorfní kalkulus v algebře C(K).
Spektrum a rezolventní funkce idempotentního prvku algebry.
Přednáška č. 22 - 16.12.2021
Oddíl IV.4 (Ideály, komplexní homomorfismy a Gelfandova transformace) - do Tvrzení 22 včetně.
Příklad 19(3) byl jen stručně okomentován.
Přednáška č. 23 - 20.12.2021
Dokončení oddílu IV.4 - od Tvrzení 23 do konce oddílu.
Začátek oddílu IV.5 (C*-algebry - základní vlastnosti) - úvodní definice, Příklady 25(1-4), Poznámka (1) o jednotce
v algebře s involucí.
Cvičení č. 12 - 22.12.2021
Komplexní homomorfismy na l1(G), duální grupa. Aplikace na l1(Z) -
duální grupa je T, Gelfandova transformace, vyjádření spektra obecného prvku a kanonického vektoru
pomocí Gelfandovy transformace. Vztah k Fourierovým řadám a Wienerově algebře - obor hodnot Gelfandovy
transformace jsou funkce s absolutně konvergentní Fourierovou řadou, Gelfandova transformace je prostá, ale není na,
a tedy l1(Z) není izomorfní C*-algebře. Dále aplikace na l1(Zm) - duální grupa
jsou m-té odmocniny z 1, vyjádření spektra, algebra je izomorfní ale ne izometrická C*-algebře.
Uzavřené ideály v C(K) (tj. Příklad IV.19(3)), z toho popis maximálních ideálů a Δ(C(K)),
Gelfandova transformace je identita.
Přednáška č. 24 - 3.1.2022
Pokračování oddílu IV.5 - Poznámky (2) a (3), dále od Tvrzení 26 do Tvrzení 32 včetně.
Poznámka: Přednáška se konala online přes zoom, záznam je k dispozici v Moodle.
Cvičení č. 13 - 5.1.2022
Příklad, kdy spektrum vůči podalgebře je opravdu větší (tj. Příklad 25 z příkladů k pochopení látky
v trochu jiné formulaci). Spektrum vůči C*-podalgebře je stejné (tj. Tvrzení IV.36 pro algebry s jednotkou),
porovnání s uvedeným příkladem.
Stručná informace o kompaktních a lokálně kompaktních abelovských grupách, o Haarově míře a
o konvoluční algebře L1(G) (což je obecnější verze Příkladu 1(7-9)),
o komplexních homomorfismech na L1(G), duální grupa, aplikace
pro G=Rn,T,Z, vztah Gelfandovy transformace k Fourierově transformaci a Fourierovým
řadám. Spektrum prvku v komutativní Banachově algebře konečné dimenze (Příklad 45 z příkladů k pochopení látky).
Dále důkaz Důsledku IV.35.
Přednáška č. 25 - 6.1.2022
Dokončení oddílu IV.5 - Věta 33 a Důsledek 34.
Dále oddíl IV.6 (spojitý funkční kalkulus) - Tvrzení 36 (důkaz části (a), část (b) byla na cvičení), Věta 37 řečena bez důkazu,
dále konstrukce a vlastnosti spojitého funkčního kalkulu pro C*-algebry s jedntokou, tj. Věta 38.
Věta 39 byla jen stručně zmíněna. Aplikace funkčního kalkulu pro matice.
