Program jednotlivých přednášek a cvičení
Přednáška č. 1 - 15.2.2022
Úvodní informace - stručný obsah kurzu, informace k zápočtům. Začátek Kapitoly V (Omezené a neomezené operátory na Hilbertově prostoru),
konkrétně oddíl V.1 (Různé typy omezených operátorů na Hilbertově prostoru)
- do Tvrzení 4(d) včetně.
Přednáška č. 2 a cvičení č. 1 - 21.2.2017
Pokračování oddílu V.1 - od Tvrzení 4(e) do Tvrzení 6.
Operátor (x,y)↦(y,-x) na R2 je unitární a přitom má nulový numerický poloměr;
numerický range operátoru daného týmž vzorcem na C2 je úsečka spojující i a -i;
numerický range operátoru (x,y)↦(0,x) na C2 je uzavřený kruh o středu 0
a poloměru 1/2. Z toho plyne, že konstanty v Tvrzení 4(a) jsou optimální.
Přednáška č. 3 - 22.2.2022
Pokračování oddílu V.1 - od Tvrzení 7 do začátku důkazu Věty 9.
Přednáška č. 4 - 24.2.2022
Dokončení oddílu V.1 - od Věty 9 do konce oddílu, přitom důkaz Tvrzení 10 byl jen naznačen. Začátek oddílu V.2
(pojem neomezeného operátoru) - do Lemmatu 13 včetně.
Přednáška č. 5 - 1.3.2022
Dokončení oddílu V.2 - od Tvrzení 14 do konce oddílu. Příklady 17 byly jen stručně zmíněny, taktéž závěrečná poznámka.
Dále oddíl V.3 (spektrum neomezeného operátoru) - do Tvrzení 19(c).
Přednáška č. 6 a cvičení č. 2 - 3.3.2022
Dokončení oddílu V.3 (Tvrzení 19(d) a Lemma 20).
Vlastnosti a charakterizace částečných izometrií. Levý shift na l2 - je to částečná izometrie, adjungovaným
operátorem je pravý shift. Pro oba operátory výpočet spektra (je to uzavřený jednotkový kruh), bodového spektra (pro levý shift je
to otevřený jednotkový kruh, pro pravý prázdná množina), přibližného bodového spektra (pro levý shift je to celé spektrum, pro pravý
shift jednotková kružnice), zbytkového spektra (pro levý shift je prázdné, pro pravý shift je to otevřený jednotkový kruh)
a numerického oboru hodnot (je to otevřený jednotkový kruh).
Přednáška č. 7 - 8.3.2022
Oddíl V.4 (operátory na Hilbertově prostoru) - do Tvrzení 26(b) včetně.
Cvičení č. 3 - 10.3.2022
Důkaz Tvrzení 26(c), definice samoadjungovaného a symetrického operátoru. Operátory násobení na l2 - omezenost, kompaktnost,
adjungovaný operátor, normalita, vztah k Hilbert-Schmidtově větě, spektrum a bodové spektrum.
Operátory Tj:f↦f' na různých podprostorech
L2(0,1) - D(T1)={f∈AC[0,1]; f'∈L2(0,1)},
D(T2)={f∈D(T1); f(0)=0}, D(T3)={f∈D(T1); f(1)=0},
D(T4)={f∈D(T1); f(0)=f(1)=0}, D(T5)={f∈D(T1); f(0)=f(1)}
- jsou hustě definované, výpočet adjungovaných operátorů - zatím jednoduché inkluze a T4*=-T1.
Přednáška č. 8 - 15.3.2022
Dokončení oddílu V.4 - od Lemmatu 27 do konce oddílu. Začátek oddílu V.5 (Symetrické operátory a Cayleyova transformace) - do Tvrzení 32(a).
Cvičení č. 4 - 17.3.2022
Dokončení příkladu z minula: T4*=-T1, T1*=-T4, T2*=-T3,
T3*=-T2, T5*=-T5. Vlastní čísla a spektra těchto operátorů -
σ(T1)=σp(T1)=C, σ(T2)=σ(T3)=∅,
σ(T4)=C, σp(T4)=∅, σ(T5)=σp(T4)={2kπi; k∈Z}.
Operátory Tj:f↦f' na dvou podprostorech
L2(0,∞) - D(T1)={f∈ACloc[0,∞); f,f'∈L2(0,∞)},
D(T2)={f∈D(T1); f(0)=0}, T2*=-T1, T1*=-T2.
Přednáška č. 9 - 22.3.2022
Dokončení oddílu V.5 - od Věty 32(b) do konce oddílu. Závěrečné poznámky byly jen stručně zmíněny.
Přednáška č. 10 - 24.3.2022
Začátek Kapitoly VI (Spektrální míry a spektrální rozklady), a to
oddíl VI.1 (Měřitelný kalkulus a spektrální míra pro omezený normální operátor) - do Lemmatu 3 včetně.
Přitom důkaz Lemmatu 3 byl jen naznačen.
Přednáška č. 11 - 29.3.2022
Dokončení oddílu VI.1 - Věta 4. Začátek oddílu VI.2 (Integrál podle spektrální míry) - do Lemmatu 6(g).
Přednáška č. 12 a cvičení č.5 - 31.3.2022
Pokračování oddílu VI.2 - Lemma 6(h), Tvrzení 7 a část Věty 8 (existence a jednoznačnost Φ0(f), pokud
f a g se shodují až na množinu z 𝒩, pak Φ0(f)=Φ0(g)).
Operátor násobení na L2(μ) pro konečnou míru - spektrální míra a měřitelný kalkulus, totéž pro
operátor násobení na ℓ2(Γ) a na L2(μ) pro rozložitelnou míru.
Přednáška č. 13 - 5.4.2022
Pokračování oddílu VI.2 - důkaz Věty 8, Lemma 9, Důsledek 10 a část důkazu Věty 11.
Přednáška č. 14 a cvičení č.6 - 7.4.2022
Dokončení oddílu VI.2 - dokončení důkazu Věty 11, Věta 12 včetně větší části důkazu, Tvrzení 13 a jeho důkaz.
Integrál neomezené funkce podle spektrální míry operátoru násobení z minulého týdne; spektrální míra operátoru posunu
na ℓ2(Z) pomocí unitární ekvivalence s operátorem násobení (s využitím Fourierových řad).
Přednáška č. 15 - 12.4.2022
Oddíl VI.3 (Spektrální rozklad (neomezeného) samoadjungovaného operátoru) - celý. Začátek oddílu VI.4 (Neomezené normální operátory) -
Lemma 19 a většina důkazu.
Přednáška č. 16 a cvičení č. 7 - 14.4.2022
Dokončení oddílu VI.4 - připomenutí Lemmatu 19 a jeho významu, Lemma 20 a jeho důkaz, Věta 21 - vysvětlení jejího znění a
základního postupu důkazu, komentář k jejím důsledkům. Dále oddíl VI.5 (Doplňky k teorii neomezených operátorů) - Tvrzení 24
(vysvětlení znění a základního postupu důkazu), Věta 25 jako důsledek Tvrzení 24, Věty 26 a 27 stručně okomentovány.
Diagonalizace operátoru derivování na L2(0,2π).
Přednáška č. 17 - 19.4.2022
Začátek Kapitoly VII (Více o lokálně konvexních topologiích) - připomenutí některých základních pojmů a vět, začátek oddílu VII.1
(Svaz lokálně konvexních topologií a topologie souhlasící s dualitou) - do Tvrzení 3 včetně.
Cvičení č. 8 - 21.4.2022
Diagonalizace operátorů derivování na L2(0,2π) s různými okrajovými podmínkami.
Konstrukce samoadjungovaného Laplaceova operátoru na L2(Ω).
Přednáška č. 18 - 26.4.2022
Pokračování oddílu VII.1 - do Tvrzení 7 včetně.
Cvičení č. 9 - 28.4.2022
Konstrukce samoadjungovaného Laplaceova operátoru na L2(Ω) - dokončení.
Diagonalize operátoru derivování na R.
Dále Důsledek 8 a Příklad 9 z oddílu VII.1.
Topologie stejnoměrné konvergence na prvcích daného systému omezených podmnožin normovaného prostoru
a její duál.
Přednáška č. 19 - 3.5.2022
Oddíl VII.2 (bw*-topologie a Krein-Šmulyanova věta) - do Důsledku 14 včetně.
Přednáška č. 20 a cvičení č. 10 - 5.5.2022
Dokončení oddílu VII.2 - Věta 15 a stručně následující poznámky.
Aplikace výsledku z minulého týdne na topologii stejnoměrné konvergence na omezených spočetných množinách.
Prostory c0 a lp pro p∈[1,∞)
s topologií bodové konvergence - popis duálu, splývání slabé a Mackeyho topologie.
Náznak téhož pro prostory c0(Γ) a lp(Γ) pro p∈[1,∞).
Přednáška č. 21 - 10.5.2022
Oddíl VII.3 (Kompaktní konvexní množiny) - do Příkladu 20 včetně.
Přednáška č. 22 a cvičení č. 11 - 12.5.2022
Dokončení oddílu VII.3 - od Věty 21 do konce oddílu.
Kombinace Krein-Milmanovy a Mazurovy věty pro slabě kompaktní konvexní množiny v Banachových prostorech a pro
omezené uzavřené konvexní množiny v reflexivních prostorech. Extremální body jednotkových uzavřených koulí
v prostorech c0, C([0,1]), obecněji C(K), ℓ1, náznak pro L1.
Přednáška č. 23 - 17.5.2022
Oddíl VII.4 (Slabě kompaktní množiny a operátory) - do Lemmatu 27 včetně.
Přednáška č. 24 - 19.5.2022
Dokončení oddíl VII.4 - Věta 28, Tvrzení 29, pak Věta 26 a zbytek oddílu.
