MFF UK

Úvod do funkcionální analýzy

Obecné informace k organizaci kurzu


Předpokládané znalosti a prerekvizity


Souvislosti s dalšími předměty


Doporučená literatura


Texty k přednáškám


Informace ke cvičením


Podmínky pro získání zápočtu


Informace ke zkouškám (Předběžná verze)


Program jednotlivých přednášek a cvičení


Poznámky a tipy k písemkám

Informace ke zkouškám

Úvod do funkcionální analýzy, ZS 2025/2026


Předběžná verze, může dojít ke změnám.

  1. Obecné podmínky:
    1. Zkoušku mohou skládat jen ti studenti, kteří mají v tomto semestru ve Studijním informačním systému zapsán předmět NMMA331 nebo NMMA931 a kteří již získali zápočet.
    2. Podmínky pro složení zkoušky se v některých bodech liší pro studenty, kteří mají zapsán předmět NMMA331, a pro studenty, kteří mají zapsán předmět NMMA931.
    3. Zkouška se skládá z písemné a ústní části.
    4. Pokud student neuspěje u písemné části, znamená to, že u zkoušky neprospěl.
    5. Pokud student u písemné části uspěje, bude skládat ústní část.
    6. Pokud student u ústní části neuspěje, znamená to, že u zkoušky neprospěl.
    7. Pokud student u zkoušky neprospěje, pak až na níže specifikované výjimky musí při opravném termínu absolvovat celou zkoušku, včetně písemné části.
    8. Na písemnou i ústní část s sebou student přinese doklad totožnosti (např. ISIC nebo OP).
  2. Písemná část:
    1. Písemná část se skládá ze tří příkladů. Řešení jsou bodována. Maximální počet bodů za každý příklad je stanoven v zadání. Přičemž je splněno, že maximální počet bodů za každý z příkladů je 15 až 20 a součet maximálních počtů bodů za všechny tři příklady je 50.
    2. Na řešení písemné části má student 120 minut.
    3. Jednotlivé příklady se mohou skládat z následujících typů úloh:
      1. výpočty normy funkcionálu či operátoru, vyšetření nabývání normy,
      2. vyšetření vlastností operátoru (zda je prostý, na, izomorfismus, popis jádra, oboru hodnot),
      3. hledání ortonormální báze, ortogonální projekce,
      4. vyjádření duálního či adjungovaného operátoru,
      5. vyšetření kompaktnosti operátoru,
      6. výpočet spektra a bodového spektra operátoru.

      Tyto úlohy mohou být libovolně kombinovány a mohou obsahovat doplňující otázky testující porozumění související teorii. Úlohy mohou být doplněny návodem.
    4. Vzorové příklady pro písemky sloužící jako orientační vzor podoby příkladů jsou stejné jako v roce 2022/2023 (zde, řešení je zde). Možné složení písemky ilustrují například trojice příkladů 1,2,4 nebo 3,4,5 nebo 1,4,5 nebo 2,3,4. (Vzorové příklady nebyly reálně testovány na časovou náročnost.)
    5. Jako další zdroj vzorových příkladů mohou sloužit písemky z minulých let. Například:
      1. písemky z roku 2022/2023 nebo první dva příklady z každé z písemek z roku 2015/2016 (viz archiv zkouškových písemek);
      2. první dva příklady z každé z písemek z roku 2014/2015 (A [řešení], B [řešení], C [řešení], D [řešení], E [řešení]);
      3. písemky zadané doc. M. Cúthem v roce 2021/2022 (viz archiv výuky na jeho stránce);
      4. příklady zadané jako domácí úkoly v letošním roce.
    6. Řekneme, že student u písemné části uspěje, získá-li alespoň 26 bodů.
    7. Řekneme, že student u písemné části uspěje velmi, získá-li alespoň 35 bodů.
    8. Řekneme, že daný příklad student vyřešil téměř úplně, pokud počet bodů, který za něj získal, je větší nebo roven horní celé části tří čtvrtin maximálního možného počtu bodů.
    9. Při písemné části je možné používat libovolnou psanou či tištěnou literaturu (knihy, skripta, poznámky z přednášek a cvičení atp.).
    10. Při písemné části není možné používat výpočetní techniku ani jiné elektronické přístroje (mobilní telefony, kalkulačky, počítače, čtečky atp.).
  3. Ústní část:
    1. U ústní části si student vylosuje sadu tří otázek. Odpovědi si pak samostatně připraví během 30 minut nepoužívaje přitom žádných pomůcek s výjimkou psacích potřeb. Poté odpovědi předestře zkoušejícímu, který je zhodnotí a oboduje.
    2. Složení každé sady otázek je dle následujícího schématu:
      1. Znění a důkaz dvou „lehkých” vět (za každou z nich 11 bodů, z toho 3 body za znění a 8 bodů za důkaz).
      2. Znění a důkaz „těžké” věty (16 bodů, z toho 3 body za znění a 13 bodů za důkaz).
      3. Další otázka, kterou lze zodpovědět pomocí vět a metod z přednášky (12 bodů).
    3. Seznam zkouškových otázek (lehké a těžké věty, další otázky) bude zveřejněn na konci semestru dle skutečně odpřednesené látky. Předběžná verze bude zveřejněna brzy.
    4. V seznamu jsou uvedeny i věty, které nebudou explicitně zkoušeny, ale jejichž znalost (včetně schopnosti je používat) se předpokládá. Rovněž tam je seznam pojmů, jejichž znalost se předpokládá, ačkoli součástí zkoušky není explicitní otázka na definice.
    5. Kromě pojmů a vět uvedených v seznamu se předpokládají i znalosti ze základního kurzu matematické analýzy, lineární algebry a teorie míry a integrálu, zejména jsou-li potřebné k zodpovězení vylosovaných otázek.
    6. Za nezbytnou součást znalosti znění věty se považuje porozumění jejím předpokladům a jejímu tvrzení, včetně porozumění pojmů v ní používaným, jakož i schopnost ji aplikovat v konkrétních příkladech.
    7. Znalostí důkazu věty se rozumí schopnost vysvětlit zkoušejícímu libovolný matematicky korektní důkaz, který využívá pouze vět dokázaných či zformulovaných na přednášce dříve, vět ze základního kurzu matematické analýzy, lineární algebry a teorie míry a integrálu, případně jiných vět, které student umí dokázat.
  4. Hodnocení zkoušky z předmětu NMMA331:
    1. V případě, že student u ústní části neprokáže znalost všech klíčových pojmů souvisejících s vylosovanou sadou, u zkoušky neprospěje (bez ohledu na počet bodů). Pro posouzení toho, co s čím souvisí, je rozhodující názor zkoušejícího.
    2. V případě, že student u ústní části prokáže soustavnou neznalost většího množství dalších pojmů, jejichž znalost se předpokládá, u zkoušky neprospěje (bez ohledu na počet bodů).
    3. Student složí zkoušku, pokud uspěje u písemné části, nenastane případ popsaný v bodě 4a nebo 4b a u ústní části získá alespoň 26 bodů.
    4. Student získá známku výborně, pokud složí zkoušku a v součtu (za písemnou a ústní část) získá alespoň 80 bodů.
    5. Student získá známku velmi dobře, pokud složí zkoušku, nezíská známku výborně, z ústní části získá alespoň 30 bodů a v součtu získá alespoň 66 bodů.
    6. Student získá známku dobře, pokud složí zkoušku a přitom nezíská známku výborně nebo velmi dobře.
    7. Pokud student u zkoušky neprospěje a u písemné části uspěl velmi, při opravném termínu skládá jen ústní část. Do celkového součtu bodů za opravný termín se pak započítává výsledek dřívější písemné části, u které uspěl velmi.
    8. Pokud student při druhém opravném termínu neuspěje u písemky, pak může pokračovat k ústní části za předpokladu, že při některém z dosavadních pokusů buď uspěl nebo alespoň jeden příklad vyřešil téměř úplně. Pak zkoušku složí, pokud nenastane případ popsaný v bodě 4a nebo 4b a u ústní části získá alespoň 30 bodů. V takovém případě získá známku dobře. V opačném případě u zkoušky neprospěje.
  5. Hodnocení zkoušky z předmětu NMMA931:
    Pro studenty platí tytéž podmínky jako pro studenty, kteří mají zapsán předmět NMMA331, s následujícími odchylkami:
    1. Pokud student uspěje u písemné části a u zkoušky neprospěje, při opravném termínu může skládat pouze ústní část. Výsledek z dřívější písemné části se pak započítává do celkového součtu za opravný termín.
    2. Student možnost z předchozího bodu nemusí využít. V tom případě pro něj při opravném termínu platí stejné podmínky jako pro studenty, kteří mají zapsán předmět NMMA331, a k výsledku dřívější písemné části se nepřihlíží.
  6. Termíny a zápis na ně: Bude ještě doplněno.