Geometrická zobrazení

Příklad 6

Je dána kružnice \(k\) o středu \(S\) a bod \(M\) ležící uvnitř kružnice \(k\). Sestrojte všechny rovnoramenné lichoběžníky \(ABCD\) tak, že kružnice \(k\) je opsaná lichoběžníku, bod \(M\) leží na jeho rameni \(BC\), které má velikost \(a\) cm, \(a > 0\), přitom základny lichoběžníka \(AB\), \(CD\) jsou rovnoběžné s přímkou \(SM\).

Rozbor

Obr. 3.4.5 - Náčrtek příkladu 6

Nejprve sestrojíme rameno \(BC\). Sestrojíme pomocnou úsečku \(XY\) délky \(a\) tak, aby krajní body úsečky ležely na kružnici \(k\), úsečku pak vhodně otočíme.
Zkonstruujeme kružnici \(p\) soustřednou s kružnicí \(k\), která prochází bodem \(M\). Průsečík kružnice \(p\) a úsečky \(XY\) označíme \(M'\). Orientovaný úhel, o který musíme úsečku \(XY\) otočit, je úhel \(M'SM\). Tak získáme rameno \(BC\), neboť bod \(M'\) se zobrazí na bod \(M\).
Vrchol \(A\) lichoběžníka leží na kružnici \(k\) a na přímce, která je rovnoběžná s úsečkou \(SM\) a prochází bodem \(B\). Bod \(A\) je průsečík této rovnoběžky a kružnice \(k\).
Vrchol \(D\) získáme jako průsečík kružnice \(k\) a rovnoběžky s úsečkou \(SM\) procházející bodem \(C\).

Konstrukce a zápis konstrukce

Applet 3.4.8 - Příklad 6

Diskuse

Počet řešení závisí na umístění bodu \(M\), poloměru kružnice \(k\) a délce ramene \(BC\). Označme si \(x\) kolmici na úsečku \(SM\) procházející bodem \(S\).

Úloha nemá řešení, pokud:
- délka ramene \(BC\) je větší než průměr kružnice \(k\),
- nebo neexistuje průsečík úsečky \(XY\) a soustředné kružnice procházející bodem \(M\),
- nebo neexistuje průsečík kružnice \(k\) a rovnoběžky s úsečkou \(SM\) vedené bodem \(B\) (resp. \(C\)) v polorovině určené hraniční přímkou \(x\), ve které neleží vrchol \(C\) (resp. \(B\)).
Úloha má jedno řešení, pokud:
- existuje jeden průsečík úsečky \(XY\) a soustředné kružnice procházející bodem \(M\),
- nebo pro jedno z ramen \(BC\) neexistuje průsečík kružnice \(k\) a rovnoběžky s úsečkou \(SM\) vedené bodem \(B\) (resp. \(C\)) v polorovině určené hraniční přímkou \(x\), ve které neleží vrchol \(C\) (resp. \(B\)).
Úloha má jinak dvě řešení.